U pokusu je serijski $RL$ spoj priključen na izmjenični naponski izvor sinusnog napona $u \left( t \right) = U_\text{m} \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right)$. Početno su uključeni grafovi struje izvora $i \left( t \right)$ kao i njenih dviju komponenti — tranzijentni član $i_\text{t} \left( t \right)$ i stacionarni član $i_\text{s} \left( t \right)$. Klikom na pojedine gumbe uz $y$-os možete uključiti/isključiti i grafove napona na elementima. Program iscrtava čitavu prijelaznu pojavu kroz prvih $50 \text{ ms}$ od trenutka zatvaranja sklopke. Problem opisuje diferencijalna jednadžba iz Kirchhoffovog zakona za napone po kojem je zbroj napona na otporniku i napona na zavojnici u svakom trenutku $t$ jednak naponu izvora $u \left( t \right)$: $$u_\text{R} \left( t \right) + u_\text{L} \left( t \right) = U_\text{m} \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) \,\,\, \longrightarrow \,\,\, R \cdot i \left( t\right) + L \cdot \frac{d i \left( t \right)}{dt} = U_\text{m} \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right)$$

Napomene: radi jednostavnosti u pokusu pretpostavljamo da se kod svake promjene parametara krug resetira, zatvara sklopka i onda kreće prijelazna pojava iznova

Možete mijenjati parametre otpor $R$, induktivitet $L$, amplitudu napona izvora $U_\text{m}$ te posebno zanimljivo — početni kut $\alpha_\text{U}$ napona izvora. Pomicanjem ravnala možete očitati trenutne vrijednosti struje i njenih komponenti te napona na elementima za odabrani trenutak $t_\text{x}$ — početno je odabrano $t_\text{x} = 15 \text{ ms}$.

Zavojnica ne dopušta naglu promjenu struje pa će i u trenutku odmah nakon zatvaranja sklopke $t = 0^{+}$ struja izvora još uvijek biti nula: $i \left( t = 0^{+} \right) = 0 \text{ A}$! Fazorski račun nam daje struju u stacionarnom stanju (za $t >> 0$), ali što se događa kod $t=0^{+}$, netom po zatvaranju sklopke? Odgovor saznajemo rješavanjem diferencijalne jednadžbe iz KZN. Dobivamo da je struja izvora $i \left( t \right)$ zbroj dva člana: padajuće eksponencijalne funkcije (tranzijentni član $i_\text{t} \left( t \right)$ zbog prijelazne pojave) i sinusne funkcije (stacionarni član $i_\text{s} \left( t \right)$ kojeg prepoznajemo iz fazorskog računa): $$i \left( t \right) = i_\text{t} \left( t \right) + i_\text{s} \left( t \right)$$ $$i_\text{t} \left( t \right) = - A \cdot \sin \left( \alpha_\text{U} - \varphi \right) \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$$ $$i_\text{s} \left( t \right) = A \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} - \varphi \right)$$ gdje su $A$, kut $\varphi$ i vremenska konstanta $\tau$: $$A = \frac{U_\text{m}}{\sqrt{ R^2 + L^2 \cdot \omega^2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \varphi = \arctan{\frac{L \cdot \omega}{R}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \tau = \frac{L}{R}$$ Početni kut $\alpha_\text{U}$ sinusne funkcije napona izvora $u \left( t \right)$ opisuje koliki je napon izvora u trenutku zatvaranja sklopke $t = 0^{+}$. Sjetite se da u sinusnim funkcijama kuteve prebacite iz stupnjeva u radijane! Primijetite kako se odabirom pogodnog trenutka zatvaranja sklopke, odnosno početnog kuta $\alpha_\text{U}$ može u startu minimizirati tranzijentni član — ako se odabere $\alpha_\text{U} \approx \varphi$ onda će zbog $\sin \left( \alpha_\text{U} - \varphi \right)$ i tranzijentni član struje $i_\text{t} \left( t \right)$ težiti prema nuli — probajte u pokusu pronaći takve vrijednosti $\alpha_\text{U}$! U ostalim slučajevima će nakon zatvaranja sklopke tranzijentni član struje ipak značajno utjecati na struju izvora i napone na elementima $R$ i $L$. Naravno, po isteku prijelazne pojave i ulasku u stacionarno stanje (otprilike nakon $t \approx 5 \tau$) tranzijentni član gotovo iščezava, a za $t >> 0$ preostaje samo stacionarni član — sinusna struja koju od ranije znamo izračunati preko fazorskog računa: $$\dot{I} = \frac{\dot{U}}{\underline{Z}} = \frac{\frac{U_\text{m}}{\sqrt{2}} \angle \alpha_\text{U}}{R + \text{j} X_\text{L}} = \frac{\frac{U_\text{m}}{\sqrt{2}} \angle \alpha_\text{U}}{R + \text{j} \omega \cdot L} = \frac{\frac{U_\text{m}}{\sqrt{2}} \angle \alpha_\text{U}}{\sqrt{R^2 + L^2 \cdot \omega^2} \angle \arctan \frac{L \cdot \omega}{R}} = \frac{\frac{U_\text{m}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{R^2 + L^2 \cdot \omega^2}} \angle \left( \alpha_\text{U} - \arctan \frac{L \cdot \omega}{R} \right)$$ i nakon prebacivanja fazora u vremensku domenu (amplituda je $\sqrt{2}$ puta veća od modula fazora, kut prebacimo iz stupnjeva u radijane) dobijemo izraz jednak $i_\text{s} \left( t \right)$: $$i \left( t \right) = \frac{U_\text{m}}{\sqrt{R^2 + L^2 \cdot \omega^2}} \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} - \arctan \frac{L \cdot \omega}{R} \right) = A \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} - \varphi \right)$$

Dodatno — izračun funkcije struje:

Ranije spomenutu diferencijalnu jednadžbu koja opisuje struju u ovome krugu prepišemo ovako: $$\frac{d i \left( t \right)}{dt} + \frac{R}{L} \cdot i \left( t\right) = \frac{U_\text{m}}{L} \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right)$$ Tražimo struju izvora $i \left( t\right)$ koja će zadovoljiti gornju diferencijalnu jednadžbu. Iz matematike (poveznice: prva, druga) prepoznajemo kako se radi o linearnoj diferencijalnoj jednadžbi oblika $\frac{dy}{dx} + p \left( x \right) \cdot y = q \left( x\right)$. Kod rješavanja treba pomnožiti cijelu jednadžbu s multiplikatorom $\mu \left( x \right) = e^{\int p \left( x \right) dt}$, odnosno u našem slučaju: $$\mu \left( t \right) = e^{\int \frac{R}{L} dt} = e^{\frac{R}{L}\cdot t + k} = e^{\frac{R}{L}\cdot t} \cdot e^{k} = k \cdot e^{\frac{R}{L}\cdot t}$$ Pomnožimo diferencijalnu jednadžbu s $\mu \left( t \right)$ i sve podijelimo s konstantom $k$ pa ostaje: $$e^{\frac{R}{L}\cdot t} \cdot \frac{di \left( t \right)}{dt} + e^{\frac{R}{L}\cdot t} \cdot \frac{R}{L} \cdot i \left( t \right) = e^{\frac{R}{L}\cdot t} \cdot \frac{U_\text{m}}{L} \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right)$$ Vidimo da je s lijeve strane derivacija umnoška $e^{\frac{R}{L}\cdot t} \cdot i \left( t \right)$ po $t$ i nakon sređivanja krenemo integrirati lijevu i desnu stranu: $$\frac{d}{dt} \left[ e^{\frac{R}{L}\cdot t} \cdot i \left( t \right) \right] = e^{\frac{R}{L}\cdot t} \cdot \frac{U_\text{m}}{L} \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) \,\,\,\, \longrightarrow \,\,\,\, \int d \left[ e^{\frac{R}{L}\cdot t} \cdot i \left( t \right) \right] = \frac{U_\text{m}}{L} \cdot \int e^{\frac{R}{L}\cdot t} \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) dt \,\,\,\, \longrightarrow \,\,\,\, e^{\frac{R}{L}\cdot t} \cdot i \left( t \right) + k = \frac{U_\text{m}}{L} \cdot \text{INT}_1$$ U složenijem integralu $\text{INT}_1$ na desnoj strani imamo umnožak eksponencijalne funkcije i sinusne funkcije. Rješavamo ga metodom parcijalne integracije (poveznica) po pravilu $\int u dv = uv - \int v du$ kroz dva koraka. U oba koraka ćemo odabrati eksponencijalnu funkciju kao $dv$: $$dv = e^{\frac{R}{L} \cdot t} dt \,\,\, \rightarrow \,\,\, v = \frac{L}{R} \cdot e^{\frac{R}{L} \cdot t} \\[1em] u = \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) \,\,\, \rightarrow \,\,\, du = \omega \cdot \cos \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) dt$$ Dakle, u prvom koraku dobijemo: $$\text{INT}_1 = \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) \cdot \frac{L}{R} \cdot e^{\frac{R}{L} \cdot t} - \int \frac{L}{R} \cdot e^{\frac{R}{L} \cdot t} \cdot \omega \cdot \cos \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) dt \\[1em] \text{INT}_1 = \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) \cdot \frac{L}{R} \cdot e^{\frac{R}{L} \cdot t} - \frac{L \cdot \omega}{R} \int \cdot e^{\frac{R}{L} \cdot t} \cdot \cos \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) dt \\[1em] \text{INT}_1 = \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) \cdot \frac{L}{R} \cdot e^{\frac{R}{L} \cdot t} - \frac{L \cdot \omega}{R} \cdot \text{INT}_2$$ Potom, opet primijenimo metodu parcijalne integracije na $\text{INT}_2$: $$dv = e^{\frac{R}{L} \cdot t} dt \,\,\, \rightarrow \,\,\, v = \frac{L}{R} \cdot e^{\frac{R}{L} \cdot t} \\[1em] u = \cos \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) \,\,\, \rightarrow \,\,\, du = - \omega \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) dt$$ Pa u drugom koraku raspišemo $\text{INT}_2$ i drugi član će biti opet $\text{INT}_1$: $$\text{INT}_2 = \cos \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) \cdot \frac{L}{R} \cdot e^{\frac{R}{L} \cdot t} - \left( - \int \frac{L}{R} \cdot e^{\frac{R}{L} \cdot t} \cdot \omega \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) dt \right) \\[1em] \text{INT}_2 = \cos \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) \cdot \frac{L}{R} \cdot e^{\frac{R}{L} \cdot t} + \frac{L \cdot \omega}{R} \int \cdot e^{\frac{R}{L} \cdot t} \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) dt \\[1em] \text{INT}_2 = \cos \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) \cdot \frac{L}{R} \cdot e^{\frac{R}{L} \cdot t} + \frac{L \cdot \omega}{R} \cdot \text{INT}_1$$ Ovo uvrstimo natrag u prvi korak i nađemo $\text{INT}_1$: $$\text{INT}_1 = \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) \cdot \frac{L}{R} \cdot e^{\frac{R}{L} \cdot t} - \frac{L \cdot \omega}{R} \cdot \left( \cos \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) \cdot \frac{L}{R} \cdot e^{\frac{R}{L} \cdot t} + \frac{L \cdot \omega}{R} \cdot \text{INT}_1 \right) \\[1em] \text{INT}_1 = \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) \cdot \frac{L}{R} \cdot e^{\frac{R}{L} \cdot t} - \cos \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) \cdot \frac{L^2 \cdot \omega}{R^2} \cdot e^{\frac{R}{L} \cdot t} - \frac{L^2 \cdot \omega^2}{R^2} \cdot \text{INT}_1 \\[1em] \text{INT}_1 \left( 1 + \frac{L^2 \cdot \omega^2}{R^2} \right) = \frac{L}{R} \cdot e^{\frac{R}{L} \cdot t} \cdot \left[ \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) - \frac{L \cdot \omega}{R} \cdot \cos \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) \right] \\[1em] \text{INT}_1 = \frac{R^2}{R^2 + L^2 \cdot \omega^2} \cdot \frac{L}{R} \cdot e^{\frac{R}{L} \cdot t} \cdot \left[ \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) - \frac{L \cdot \omega}{R} \cdot \cos \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) \right] \\[1em] \text{INT}_1 = e^{\frac{R}{L} \cdot t} \cdot \frac{L}{R^2 + L^2 \cdot \omega^2} \cdot \left[ R \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) - L \cdot \omega \cdot \cos \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) \right]$$ Uredimo linearnu kombinaciju sinusa i kosinusa istih frekvencija (poveznica): $a \cdot \sin \left( x \right) + b \cdot \cos \left( x \right) = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sin \left( x + \arctan \frac{b}{a} \right)$: $$R \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) - L \cdot \omega \cdot \cos \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) = R \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) + \left( - L \cdot \omega \right) \cdot \cos \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} \right) = \\[1em] = \sqrt{R^2 + L^2 \cdot \omega^2} \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} + \arctan \frac{-L \cdot \omega}{R} \right) = \sqrt{R^2 + L^2 \cdot \omega^2} \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} - \arctan \frac{L \cdot \omega}{R} \right)$$ Minus možemo izvući ispred $\arctan$ zato što su $L$, $\omega$ i $R$ pozitivni. Dakle, $\text{INT}_1$ nakon sređivanja glasi: $$\text{INT}_1 = e^{\frac{R}{L} \cdot t} \cdot \frac{L}{\sqrt{R^2 + L^2 \cdot \omega^2}} \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} - \arctan \frac{L \cdot \omega}{R} \right)$$ I sada uvrštavamo natrag $\text{INT}_1$ u rješenje (dodamo i konstantu integracije $c$): $$e^{\frac{R}{L}\cdot t} \cdot i \left( t \right) + k = \frac{U_\text{m}}{L} \cdot \text{INT}_1 \\[1em] e^{\frac{R}{L}\cdot t} \cdot i \left( t \right) + k = e^{\frac{R}{L} \cdot t} \cdot \frac{U_\text{m}}{\sqrt{R^2 + L^2 \cdot \omega^2}} \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} - \arctan \frac{L \cdot \omega}{R} \right) + c$$ Konstante $k$ i $c$ svedemo pod $c$ i sve podijelimo s $e^{\frac{R}{L}\cdot t}$ i dobijemo općenito rješenje za struju izvora $i \left( t \right)$: $$i \left( t \right) = \frac{U_\text{m}}{\sqrt{R^2 + L^2 \cdot \omega^2}} \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} - \arctan \frac{L \cdot \omega}{R} \right) + c \cdot e^{-\frac{R}{L} \cdot t}$$ Iz poznatog početnog uvjeta $i \left( 0^{+} \right) = 0 \text{ A}$ izračunamo konstantu $c$: $$i \left( 0^{+} \right) = \frac{U_\text{m}}{\sqrt{R^2 + L^2 \cdot \omega^2}} \cdot \sin \left( \omega \cdot 0 + \alpha_\text{U} - \arctan \frac{L \cdot \omega}{R} \right) + c \cdot e^{-\frac{R}{L} \cdot 0} \\[1em] 0 = \frac{U_\text{m}}{\sqrt{R^2 + L^2 \cdot \omega^2}} \cdot \sin \left( \alpha_\text{U} - \arctan \frac{L \cdot \omega}{R} \right) + c \\[1em] c = - \frac{U_\text{m}}{\sqrt{R^2 + L^2 \cdot \omega^2}} \cdot \sin \left( \alpha_\text{U} - \arctan \frac{L \cdot \omega}{R} \right)$$ I konačno rješenje za struju izvora je: $$i \left( t \right) = - \frac{U_\text{m}}{\sqrt{R^2 + L^2 \cdot \omega^2}} \cdot \sin \left( \alpha_\text{U} - \arctan \frac{L \cdot \omega}{R} \right) \cdot e^{-\frac{R}{L} \cdot t} + \frac{U_\text{m}}{\sqrt{R^2 + L^2 \cdot \omega^2}} \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} - \arctan \frac{L \cdot \omega}{R} \right)$$ Odnosno, nakon nekoliko zamjena: $$A = \frac{U_\text{m}}{\sqrt{ R^2 + L^2 \cdot \omega^2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \varphi = \arctan{\frac{L \cdot \omega}{R}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \tau = \frac{L}{R}$$ $$i \left( t \right) = - A \cdot \sin \left( \alpha_\text{U} - \varphi \right) \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + A \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} - \varphi \right)$$ Struju opisuje zbroj dvaju članova: prvi je tranzijentni član $i_\text{t} \left( t\right) = - A \cdot \sin \left( \alpha_\text{U} - \varphi \right) \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ (eksponencijalna padajuća funkcija koja opisuje prijelaznu pojavu), a drugi stacionarni član $i_\text{s} \left( t \right) = A \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \alpha_\text{U} - \varphi \right)$ (sinusna funkcija koja opisuje stacionarno stanje).

Napon na $R$ računamo kao: $$u_\text{R} \left( t \right) = R \cdot i \left( t \right)$$ A preko jednadžbe KZN: $u_\text{R} \left( t \right) + u_\text{L} \left( t \right) = u \left( t \right)$ možemo računati napon na zavojnici, a može i preko $L \frac{di \left( t \right)}{dt}$: $$u_\text{L} \left( t \right) = u \left( t \right) - u_\text{R} \left( t \right)$$