Prijelazne pojave

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE
INTERAKTIVNI NASTAVNI MATERIJALI

animacije · pokusi · lab. vježbe · simulacije · test pitanja · zadaci

Prijelazne pojave · RLC serija spojena na istosmjerni izvor

Serijski $RLC$ spoj se priključuje na istosmjerni stalni naponski izvor $u \left( t \right) = U$. Pretpostavljamo da je prije zatvaranja sklopke kondenzator nenabijen (prazan). Prema tome, početno stanje spoja prije zatvaranja sklopke je: $i = 0 \text{ A}$, $u_\text{C} = 0 \text{ V}$, $u_\text{L} = 0 \text{ V}$. Nakon zatvaranja sklopke, u trenutku $t = 0 \text{ s}$ zatvara se strujni krug i prema Kirchhoffovom zakonu za napone mora vrijediti: $$u_\text{R} \left( t \right) + u_\text{L} \left( t \right) + u_\text{C} \left( t \right) = U$$ odnosno raspisano po izrazima za napone na otporniku, zavojnici i kondenzatoru: $$R \cdot i \left( t \right) + L \frac{di \left( t \right)}{dt} + \frac{1}{C} \int i \left( t \right) dt = U$$

Što će se dogoditi neposredno nakon zatvaranja sklopke u trenutku $t = 0 \text{ s}$?

struja je i dalje nula: $i \left( 0^{-} \right) = i \left( 0 \right) = i \left( 0^{+} \right) = 0 \text{ A} $ jer zavojnica $L$ ne dozvoljava naglu promjenu struje
napon na otporniku je stoga isto nula: $u_\text{R} \left( 0 \right) = R \cdot i \left( 0 \right) = 0 \text{ V}$
kondenzator je prazan pa je na njemu napon opet nula: $u_\text{C} \left( 0 \right) = 0 \text{ V}$
a prema KZN zaključujemo da je u trenutku $t = 0 \text{ s}$ napon na zavojnici $u_\text{L} \left( 0 \right) = U$
- dakle u trenutku $t = 0 \text{ s}$ struja mora imati derivaciju (brzinu porasta) s kojom će vrijediti $u_\text{L} \left( 0 \right) = U$: $$u_\text{L} \left( 0 \right) = L \frac{di \left( t = 0 \right)}{dt} = U \,\,\,\,\, \longrightarrow \,\,\,\,\, \frac{di \left( t = 0 \right)}{dt} = \frac{U}{L}$$

Kroz pokus možemo pratiti prijelaznu pojavu — počinje teći struja koja će nabijati kondenzator i stvarati pad napona na otporniku. Nakon dovoljno dugog vremena $t >> 0 \text{ s}$ u krugu će se uspostaviti stacionarno stanje: kondenzator će se nabiti na napon izvora $U$, a struja se smanji na nulu: $i = 0 \text{ A}$ baš kao i naponi na otporniku $u_\text{R} = 0 \text{ V}$ i zavojnici $u_\text{L} = 0 \text{ V}$. Primijetite kako je i u stacionarnom stanju zadovoljen KZN!

Početno program iscrtava prijelaznu pojavu kroz prvih $50 \, \mu \text{s}$ od zatvaranja sklopke. Početno je uključen samo graf struje, a klikom na pojedine gumbe uz $y$-os možete uključiti/isključiti i grafove napona na elementima. Povlačenjem kliznika za zumiranje može se zumirati po vremenskoj osi ($t$) i po vrijednostima na $y$-osi (po struji te po naponu). Možete mijenjati parametre: otpor $R$, induktivitet $L$, kapacitet $C$ i napon izvora $U$. Pomicanjem ravnala možete očitati trenutne vrijednosti struje te napona na elementima za neki odabrani trenutak $t_\text{x}$ — početno je postavljeno $t_\text{x} = 0.75 \text{ ms}$.

Napomene: radi jednostavnosti u pokusu pretpostavljamo da se kod svake promjene parametara krug resetira ($u_\text{L} = 0 \text{ V}$, $u_\text{C} = 0 \text{ V}$, $u_\text{R} = 0 \text{ V}$), zatvara sklopka i onda kreće prijelazna pojava iznova.

Izračun funkcija struje i napona:

Strujne i naponske prilike za vrijeme prijelazne pojave dobivaju se rješavanjem diferencijalne jednadžbe iz Kirchhoffovog zakona za napone: $$u_\text{R} \left( t \right) + u_\text{L} \left( t \right) + u_\text{C} \left( t \right) = U \,\,\,\,\, \longrightarrow \,\,\,\,\, R \cdot i \left( t \right) + L \frac{di \left( t \right)}{dt} + \frac{1}{C} \int i \left( t \right) dt = U$$ Nakon deriviranja i dijeljenja s $L$ dobije se homogena linearna diferencijalna jednadžba drugog reda oblika $y'' + a y' + b y = 0$ (poveznice: prva, druga, treća): $$\frac{di^2 \left( t \right)}{dt^2} + \frac{R}{L} \frac{di \left( t \right)}{t} + \frac{1}{L C} i \left( t \right) = 0$$ Zadatak je naći jednadžbu struje $i \left( t \right)$ koja zadovoljava ovu diferencijalnu jednadžbu. Rješenje se traži u obliku $i \left( t \right) = e^{\lambda t}$, a opći oblik rješenja bit će zbroj dva linearno nezavisna rješenja: $$i \left( t \right) = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t}$$ Prvo računamo $\lambda_1$ i $\lambda_2$ iz odgovarajuće karakteristične jednadžbe $\lambda^2 + a \lambda + b = 0$ (jednadžbu dobijemo uvrštavanjem oblika rješenja $i \left( t \right) = e^{\lambda t}$ u početnu diferencijalnu jednadžbu). Iščitamo iz diferencijalne jednadžbe kako su $a = \frac{R}{L}$ i $b = \frac{1}{L C}$ pa rješavamo kvadratnu jednadžbu: $$\lambda^2 + \frac{R}{L} \lambda + \frac{1}{L C} = 0$$ Rješenja su: $$\begin{align} \lambda_{1,\,2} &= \frac{-\frac{R}{L} \pm \sqrt{\left( \frac{R}{L} \right)^2 - \frac{4}{L C}}}{2} \\[1em] \lambda_{1,\,2} &= -\frac{R}{2 L} \pm \sqrt{\frac{R^2}{4 L^2} - \frac{1}{L C}} = -\alpha \pm \beta \,\,\, \longrightarrow \,\,\, \alpha = \frac{R}{2 L} \,\,\,\,\,\,\,\,\, \beta = \sqrt{ \frac{R^2}{4 L^2} - \frac{1}{L C}} \end{align}$$ Izraz ispod korijena $\frac{R^2}{4 L^2} - \frac{1}{L C}$ može biti veći, manji ili jednak nuli pa za svaki slučaj postoji različito opće rješenje struje $i \left( t \right)$!

dva različita realna rješenja $\lambda_1 = - \alpha + \beta$ i $\lambda_2 = - \alpha - \beta$ kada je izraz ispod korijena veći od nule: $\frac{R^2}{4 L^2} - \frac{1}{L C} > 0$, odnosno kada vrijedi: $$\frac{R^2}{4 L^2} > \frac{1}{L C} \,\,\, \longrightarrow \,\,\, R^2 > 4 \frac{L}{C} \,\,\, \longrightarrow \,\,\, R > 2 \sqrt{ \frac{L}{C}}$$ Ovo je nadkritično prigušeni titrajni krug — struja se nakon brzog rasta postepeno smanjuje (aperiodski). U ovom slučaju je opće rješenje diferencijalne jednadžbe: $$i \left( t \right) = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t} = C_1 e^{\left( -\alpha + \beta \right) t} + C_2 e^{\left( -\alpha - \beta \right) t} = e^{-\alpha t} \left( C_1 e^{\beta t} + C_2 e^{-\beta t} \right)$$
Kliknite ovdje za primjer grafa struje $i \left( t\right)$ u nadkritično prigušenom krugu.
dva jednaka realna rješenja $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda = - \alpha$ kada je $\beta = 0$ jer je izraz ispod korijena jednak nuli: $\frac{R^2}{4 L^2} - \frac{1}{L C} = 0$. U ovom slučaju vrijedi: $$\frac{R^2}{4 L^2} = \frac{1}{L C} \,\,\, \longrightarrow \,\,\, R^2 = 4 \frac{L}{C} \,\,\, \longrightarrow \,\,\, R = 2 \sqrt{ \frac{L}{C}}$$ Ovo je kritično prigušeni titrajni krug — slično kao i kod nadkritičnog prigušenja struja se nakon brzog rasta postepeno smanjuje (aperiodski). A u ovom slučaju je opće rješenje diferencijalne jednadžbe: $$i \left( t \right) = C_1 e^{\lambda t} + C_2 t e^{\lambda t} = C_1 e^{-\alpha t} + C_2 t e^{-\alpha t} = e^{-\alpha t} \left( C_1 + C_2 t \right)$$
Kliknite ovdje za primjer grafa struje $i \left( t\right)$ u kritično prigušenom krugu.
dva konjugirano-kompleksna rješenja $\lambda_1 = - \alpha + \text{j} \gamma$ i $\lambda_2 = - \alpha - \text{j} \gamma$ kada je izraz ispod korijena manji od nule: $\frac{R^2}{4 L^2} - \frac{1}{L C} < 0$, odnosno kada vrijedi: $$\frac{R^2}{4 L^2} < \frac{1}{L C} \,\,\, \longrightarrow \,\,\, R^2 < 4 \frac{L}{C} \,\,\, \longrightarrow \,\,\, R < 2 \sqrt{ \frac{L}{C}}$$ Sada rješenja karakteristične jednadžbe zapisujemo kao konjugirano-kompleksne brojeve $\lambda_{1 , \, 2} = - \alpha \pm \text{j} \gamma$: $$\lambda_{1,\,2} = -\frac{R}{2 L} \pm \text{j}\sqrt{ \frac{1}{L C} - \frac{R^2}{4 L^2}} = - \alpha \pm \text{j} \gamma \,\,\, \longrightarrow \,\,\, \alpha = \frac{R}{2 L} \,\,\,\,\,\,\,\,\, \gamma = \sqrt{ \frac{1}{L C} - \frac{R^2}{4 L^2}}$$ Ovo je podkritično prigušeni titrajni krug — struja sinusnog oblika se prigušuje prema nuli. Ovdje je opće rješenje diferencijalne jednadžbe: $$i \left( t \right) = C_1 e^{-\alpha t} \cos \left( \gamma t \right) + C_2 e^{-\alpha t} \sin \left( \gamma t \right) = e^{-\alpha t} \left[ C_1 \cos \left( \gamma t \right) + C_2 \sin \left( \gamma t \right) \right]$$
Kliknite ovdje za primjer grafa struje $i \left( t\right)$ u podkritično prigušenom krugu.

U sva tri rješenja trebamo izračunati konstante $C_1$ i $C_2$ iz početnih uvjeta. Zavojnica u krugu ne dopušta naglu promjenu struje pa su početni uvjeti kako smo već naveli ranije: $i \left( 0 \right) = 0 \text{ A}$, $i' \left( 0 \right) = \frac{U}{L}$.

Pokazuje se da otpor $R$ ima presudnu ulogu u prijelaznoj pojavi u serijskom $RLC$ krugu. Na otporu se električna energija pretvara u toplinu i tako se prigušuje ukupna struja u krugu. Iz gornje analize vidi se da postoji kritični otpor $R_\text{krit} = 2 \sqrt{\frac{L}{C}}$ koji odlučuje o obliku struje izvora $i \left( t \right)$ dok traje prijelazna pojava:

ako je otpor veći ili jednak $R_\text{krit}$ struja će nakon brzog rasta postupno padati prema nuli (aperiodski oblik)
ako je otpor manji od $R_\text{krit}$ struja će sve slabije oscilirati prema nuli — kroz nekoliko sinusnih titraja će pasti na nulu

Kada znamo struju možemo dobiti izraze koji opisuju napone na elementima $R$, $L$ i $C$:

napon na otporniku preko Ohmovog zakona: $$u_\text{R} \left( t \right) = R \cdot i \left( t \right)$$
napon na zavojnici preko deriviranja struje (izvedeno iz Faradayevog zakona): $$u_\text{L} \left( t \right) = L \frac{d i \left( t \right)}{dt}$$
napon na kondenzatoru preko KZN $u_\text{R} + u_\text{C} + u_\text{L} = U$ ili preko integriranja struje (izvedeno iz formule $U = \frac{Q}{U}$): $$u_\text{C} \left( t \right) = U - u_\text{R} \left( t \right) - u_\text{L} \left( t \right) \,\,\,\,\,\, \longleftrightarrow \,\,\,\,\,\, u_\text{C} \left( t \right) = \frac{1}{C} \int i \left( t \right) dt$$

Primijetite kako je na početku prijelazne pojave (u $t=0^{+}$) derivacija napona na kondenzatoru jednaka nuli, $\frac{d u_\text{C}}{dt} = 0$ jer je tada struja $i \left( t=0^{+} \right) = C \cdot \frac{d u_\text{C}}{dt} = 0 \text{ A}$ — ovo ćete lakše opaziti ako zumirate prikazane grafove po vremenskoj osi (kliknite ovdje za primjer). Već je ranije spomenut razlog ove pojave: induktivitet $L$ ne dozvoljava naglu promjenu struje!

Dodatno — neprigušeno titranje:

Postoji i teoretski slučaj kada je otpor u krugu nula, $R = 0 \, \Omega$ pa je krug neprigušen te se onda se diferencijalna jednadžba svodi na: $$\frac{di^2 \left( t \right)}{dt^2} + \frac{1}{L C} i \left( t \right) = 0$$ Odgovarajuća karakteristična jednadžba je $\lambda^2 + \frac{1}{L C} = 0$ s konjugirano-kompleksnim rješenjima, opet u obliku $-\alpha \pm \text{j} \gamma$: $$\lambda_{1, \, 2} = \pm \text{j} \frac{1}{\sqrt{L C}} \,\,\,\, \longrightarrow \,\,\,\, \alpha = 0 \,\,\,\,\,\,\,\, \gamma = \frac{1}{\sqrt{L C}}$$ Opće rješenje diferencijalne jednadžbe je: $$i \left( t \right) = C_1 e^{-\alpha t} \cos \left( \gamma t \right) + C_2 e^{-\alpha t} \sin \left( \gamma t \right) = C_1 \cos \left( \gamma t \right) + C_2 \sin \left( \gamma t \right)$$ Na kraju još možemo urediti linearnu kombinaciju sinusa i kosinusa istih frekvencija (poveznica): $a \cdot \sin \left( x \right) + b \cdot \cos \left( x \right) = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sin \left( x + \arctan \frac{b}{a} \right)$: $$i \left( t \right) = \sqrt { {C^2}_1 + {C^2}_2 } \sin \left( \gamma t + \arctan \frac{C_1}{C_2} \right) = A \sin \left( \frac{t}{\sqrt{L C}} + \varphi \right)$$ gdje su $A$ i $\varphi$ konstante koje odredimo iz početnih uvjeta. Sada se u ovakvom neprigušenom titrajnom $LC$ krugu energija stalno izmjenjuje (oscilira) između zavojnice i kondenzatora!

Kliknite ovdje za primjer grafa struje $i \left( t\right)$ u neprigušenom krugu.