U pokusu je serijski $RL$ spoj priključen na istosmjerni naponski izvor stalnog napona $U$. Na početku je sklopka u krugu otvorena pa kroz krug ne teče struja. Klikom na gumb Kreni od početka zatvara se sklopka te pratimo kako se mijenjaju električke veličine tijekom prijelazne pojave. Na početku su uključeni grafovi svih napona u krugu, a klikom na pojedine gumbe uz $y$-os možete uključiti/isključiti i ostale grafove (struja izvora te trenutne snage). Kada zatvorimo sklopku zatvara se strujni krug i prema Kirchhoffovom zakonu za napone će zbroj napona na otporniku i napona na zavojnici biti jednak naponu izvora u svakom trenutku $t$: $$u_\text{R} \left( t \right) + u_\text{L} \left( t \right) = U$$

Zavojnica ne dopušta naglu promjenu struje pa je u trenutku prije zatvaranja sklopke $t=0^{-}$ te u trenutku zatvaranja sklopke $t=0$ kao i u trenutku $t=0^{+}$ odmah nakon zatvaranja sklopke struja u krugu jednaka nuli: $i \left( 0^{-} \right) = i \left( 0 \right) = i \left( 0^{+} \right) = 0 \text{ A}$. Ako u početnom trenutku još nema struje nema niti napona na otporniku $R$: $u_\text{R} \left( 0 \right) = 0 \text{ V}$ pa prema KZN napon na zavojnici mora biti jednak naponu izvora: $u_\text{L} \left( 0 \right) = U$. Dakle, na početku prijelazne pojave u $RL$ serijskom krugu ne teče struja jer zavojnica u tom trenutku predstavlja beskonačni otpor (prazni hod).

Tijekom prijelazne pojava (dok se zavojnica puni magnetskom energijom) možete primijetiti da su struja izvora i naponi na elementima $R$ i $L$ eksponencijalne funkcije:

• napon na zavojnici pada od $U$ prema $0 \text{ V}$ po formuli: $$u_\text{L} \left( t \right) = U \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$$
• napon na otporniku raste od $0 \text{ V}$ prema $U$ po formuli: $$u_\text{R} \left( t \right) = U \cdot \left( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right)$$
• struja izvora raste od $0 \text{ A}$ prema $\frac{U}{R}$ po formuli: $$i \left( t \right) = \frac{U}{R} \cdot \left( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right)$$

U navedenim formulama pojavljuje se vremenska konstanta $\tau$ koju za $RL$ krugove računamo kao: $$\tau = \frac{L}{R}$$ Primijetite kako prijelazna pojava traje oko $5 \tau$, i tada nastupa stacionarno stanje u kojem je za istosmjernu struju zavojnica obična žica (otpor nula) i kroz nju teče najveća struja — struja kratkoga spoja: $i \left( t = 5 \tau \right) \approx \frac{U}{R}$!

Grafove trenutnih snaga izvora, otpornika i zavojnice dobijemo preko općenite formule za snagu $p = u \cdot i$:

• trenutna snaga izvora raste od nule prema $\frac{U^2}{R}$: $p \left( t \right) = u \left( t \right) \cdot i \left( t \right)$
• trenutna snaga na otporniku raste od nule prema $\frac{U^2}{R}$: $p_\text{R} \left( t \right) = u_\text{R} \left( t \right) \cdot i \left( t \right)$
• trenutna snaga na zavojnici ima maksimum: $p_\text{L} \left( t \right) = u_\text{L} \left( t \right) \cdot i \left( t \right)$
  • Za vježbu pronađite izraz za maksimum trenutne snage na zavojnici i u kojem se trenutku postiže!   Klikni za odgovor...
    Nakon deriviranja $p_\text{L} \left( t \right)$ po $t$ i izjednačavanja s nulom dobije se maksimum: $$p_\text{L (maks)} = \frac{U^2}{4 \cdot R}$$ u trenutku: $$t_{p_\text{L (maks)}} = \tau \cdot \ln 2$$

Dodatno — izračun funkcija struje i napona:

Točne izraze eksponencijalnih funkcija struje izvora i napona na elementima dobivamo rješavanjem diferencijalne jednadžbe koju iščitamo iz KZN: $$u_\text{R} \left( t \right) + u_\text{L} \left( t \right) = U \,\,\,\, \longrightarrow \,\,\,\, R \cdot i \left( t \right) + L \cdot \frac{di \left( t \right)}{dt} = U$$ Nakon dijeljenja s $L$ (uz $L > 0 \text{ H}$) dobijemo diferencijalnu jednadžbu 1. reda: $$\frac{di \left( t \right)}{dt} + \frac{R}{L} \cdot i \left( t \right) = \frac{U}{L}$$ Tražimo struju izvora $i \left( t\right)$ koja će zadovoljiti gornju diferencijalnu jednadžbu. Iz matematike (poveznice: prva, druga) prepoznajemo kako se radi o linearnoj diferencijalnoj jednadžbi oblika $\frac{dy}{dx} + p \left( x \right) \cdot y = q \left( x\right)$ za koju postoji izvedeni izraz općeg rješenja (pogledajte izvod za $RC$ seriju), ali ovdje ćemo odabrati postupno rješavanje problema. Obije strane jednadžbe treba pomnožiti s multiplikatorom $\mu \left( x \right) = e^{\int p \left( x \right) dt}$, odnosno u našem slučaju: $$\mu \left( t \right) = e^{\int \frac{R}{L} dt} = e^{\frac{R}{L}\cdot t + k} = e^{\frac{R}{L}\cdot t} \cdot e^{k} = k \cdot e^{\frac{R}{L}\cdot t}$$ Pomnožimo diferencijalnu jednadžbu s $\mu \left( t \right)$ i sve podijelimo s konstantom $k$: $$e^{\frac{R}{L}\cdot t} \cdot \frac{di \left( t \right)}{dt} + e^{\frac{R}{L}\cdot t} \cdot \frac{R}{L} \cdot i \left( t \right) = \frac{U}{L} \cdot e^{\frac{R}{L}\cdot t}$$ Vidimo da je s lijeve strane derivacija umnoška $e^{\frac{R}{L}\cdot t} \cdot i \left( t \right)$ po $t$: $$\frac{d}{dt} \left[ e^{\frac{R}{L}\cdot t} \cdot i \left( t \right) \right] = \frac{U}{L} \cdot e^{\frac{R}{L}\cdot t} \,\,\,\, \longrightarrow \,\,\,\, d \left[ e^{\frac{R}{L}\cdot t} \cdot i \left( t \right) \right] = \frac{U}{L} \cdot e^{\frac{R}{L}\cdot t} dt \,\,\,\, \longrightarrow \,\,\,\, \int d \left[ e^{\frac{R}{L}\cdot t} \cdot i \left( t \right) \right] = \int \frac{U}{L} \cdot e^{\frac{R}{L}\cdot t} dt$$ Na desnoj strani uvodimo zamjenu $x = \frac{R}{L} \cdot t \rightarrow dx = \frac{R}{L} \cdot dt \rightarrow dt = dx \cdot \frac{L}{R}$: $$e^{\frac{R}{L}\cdot t} \cdot i \left( t \right) + m = \int \frac{U}{L} \cdot \frac{L}{R} \cdot e^{x} dx \,\,\,\, \longrightarrow \,\,\,\, e^{\frac{R}{L}\cdot t} \cdot i \left( t \right) + m = \frac{U}{R} \cdot e^{x} + c$$ Vratimo $x = \frac{R}{L} \cdot t$ i svedemo konstante $m$ i $c$ pod jednu konstantu $c$: $$e^{\frac{R}{L}\cdot t} \cdot i \left( t \right) = \frac{U}{R} \cdot e^{\frac{R}{L} \cdot t} + c$$ I opće rješenje je: $$i \left( t \right) = \frac{\frac{U}{R} \cdot e^{\frac{R}{L} \cdot t} + c}{e^{\frac{R}{L}\cdot t}} = \frac{U}{R} + c \cdot e^{-\frac{R}{L}\cdot t}$$ Iz poznatog početnog uvjeta $i \left( 0 \right) = 0 \text{ A}$ izračunamo konstantu $c$: $$i \left( 0 \right) = \frac{U}{R} + c \cdot e^{-\frac{R}{L}\cdot 0} \,\,\, \rightarrow \,\,\, 0 = \frac{U}{R} + c \,\,\, \rightarrow \,\,\, c = - \frac{U}{R}$$ Konačno rješenje za struju izvora je: $$i \left( t \right) = \frac{U}{R} - \frac{U}{R} \cdot e^{-\frac{R}{L}\cdot t} = \frac{U}{R} \cdot \left( 1 - e^{-\frac{R}{L}\cdot t} \right) = \frac{U}{R} \cdot \left( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right)$$ Dakle, u rješenju smo uveli vremensku konstantu $\tau = \frac{L}{R}$. Preko Ohmovog zakona izračunamo izraz na napon na otporniku: $$u_\text{R} \left( t \right) = R \cdot i \left( t \right) = U \cdot \left( 1 - e^{- \frac{t}{\tau}} \right)$$ A preko jednadžbe KZN $\left( u_\text{R} \left( t \right) + u_\text{L} \left( t \right) = U \right)$ možemo dobiti izraz za napon na zavojnici: $$u_\text{L} \left( t \right) = U - u_\text{R} \left( t \right) = U \cdot e^{- \frac{t}{\tau}}$$ Isti izraz za napon na zavojnici dobijemo i deriviranjem: $$u_\text{L} = L \cdot \frac{di \left( t \right)}{dt} = L \cdot \frac{U}{R} \cdot \left[ 0 - e^{-\frac{t}{\tau}} \cdot \left( -\frac{1}{\tau} \right) \right] = L \cdot \frac{U}{R} \cdot \frac{e^{- \frac{t}{\tau}}}{\frac{L}{R}} = U \cdot e^{- \frac{t}{\tau}}$$