U pokusu je serijski $RC$ spoj priključen na istosmjerni naponski izvor stalnog napona $U$. Na početku je sklopka u krugu otvorena pa kroz krug ne teče struja. Klikom na gumb Kreni od početka zatvara se sklopka, poteče struja i počinje proces nabijanja kondenzatora (ovdje pretpostavljamo da je kondenzator uvijek prije nabijanja prazan). Na početku su uključeni grafovi svih napona u krugu, a klikom na pojedine gumbe uz $y$-os možete uključiti/isključiti i ostale grafove (struja izvora te trenutnih snaga). Kada zatvorimo sklopku zatvara se strujni krug i prema Kirchhoffovom zakonu za napone će zbroj napona na otporniku i napona na kondenzatoru biti jednak naponu izvora u svakom trenutku $t$: $$u_\text{R} \left( t \right) + u_\text{C} \left( t \right) = U$$

Kada zatvorimo sklopku, u početnom trenutku $t=0 \text{ s}$, kondenzator je prazan i predstavlja kratki spoj (otpor nula!) — tada je naboj kondenzatora $Q_\text{C} = 0 \text{ As}$ i napon kondenzatora $u_\text{C} \left( 0 \right) = \frac{Q_\text{C}}{C} = 0 \text{ V}$. Tada prema KZN napon na otporniku mora biti jednak naponu izvora: $u_\text{R} \left( 0 \right) = U$. Zato je struja izvora u krugu u početnom trenutku nakon zatvaranja sklopke najveća moguća — odgovara struji kratkoga spoja: $$i \left( 0 \right) = \frac{u_\text{R} \left( 0 \right)}{R} = \frac{U}{R}$$

Tijekom prijelazne pojava (dok se kondenzator nabija ili puni) možete primijetiti da su struja izvora i naponi na elementima $R$ i $C$ eksponencijalne funkcije:

• napon na kondenzatoru raste od $0 \text{ V}$ prema $U$ po formuli: $$u_\text{C} \left( t \right) = U \cdot \left( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right)$$
• napon na otporniku pada od $U$ prema $0 \text{ V}$ po formuli: $$u_\text{R} \left( t \right) = U \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$$
• struja izvora pada od $\frac{U}{R}$ prema $0 \text{ A}$ po formuli: $$i \left( t \right) = \frac{U}{R} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$$

U navedenim formulama pojavljuje se vremenska konstanta $\tau$ koju za $RC$ krugove računamo kao: $$\tau = R \cdot C$$ Nakon trajanja jedne vremenske konstante $t = \tau$ napon na kondezatoru iznosi oko $0.632 \cdot U$. Primijetite kako prijelazna pojava traje oko $5 \tau$, dakle do tada se kondenzator napuni (gotovo) do kraja te vrijedi približno: $u_\text{C} \left( t = 5 \tau \right) \approx U$. Tada nastupa stacionarno stanje u kojem više ne teče struja jer napunjeni kondenzator predstavlja beskonačni otpor (prazni hod) za istosmjernu struju!

Grafove trenutnih snaga izvora, otpornika i kondenzatora dobijemo preko općenite formule za snagu $p = u \cdot i$:

• trenutna snaga izvora pada od $\frac{U^2}{R}$prema nuli: $p \left( t \right) = u \left( t \right) \cdot i \left( t \right)$
• trenutna snaga na otporniku pada od $\frac{U^2}{R}$ prema nuli: $p_\text{R} \left( t \right) = u_\text{R} \left( t \right) \cdot i \left( t \right)$
• trenutna snaga na kondenzatoru ima maksimum: $p_\text{C} \left( t \right) = u_\text{C} \left( t \right) \cdot i \left( t \right)$
  • Za vježbu pronađite izraz za maksimum trenutne snage na kondenzatoru i u kojem se trenutku taj maksimum postiže!   Klikni za odgovor...
    Nakon deriviranja $p_\text{C} \left( t \right)$ po $t$ i izjednačavanja s nulom dobije se maksimum: $$p_\text{C (maks)} = \frac{U^2}{4 \cdot R}$$ u trenutku: $$t_{p_\text{C (maks)}} = \tau \cdot \ln 2$$

Dodatno — izračun funkcija struje i napona:

Točne izraze eksponencijalnih funkcija struje izvora i napona na elementima dobivamo rješavanjem diferencijalne jednadžbe koju iščitamo iz KZN: $$u_\text{R} \left( t \right) + u_\text{C} \left( t \right) = U \,\,\,\, \longrightarrow \,\,\,\, R \cdot i \left( t \right) + \frac{Q_\text{C}}{C} = U \,\,\,\, \longrightarrow \,\,\,\, R \cdot i \left( t \right) + \frac{\int{i \left( t \right) dt}}{C} = U$$ Nakon deriviranja i dijeljenja s $R$ (uz $R > 0 \, \Omega$) dobijemo diferencijalnu jednadžbu 1. reda: $$\frac{di \left( t \right)}{dt} + \frac{1}{R \cdot C} \cdot i \left( t \right) = 0$$ Tražimo struju izvora $i \left( t\right)$ koja će zadovoljiti gornju diferencijalnu jednadžbu. Iz matematike (poveznice: prva, druga) prepoznajemo kako se radi o linearnoj diferencijalnoj jednadžbi oblika $\frac{dy}{dx} + p \left( x \right) \cdot y = q \left( x\right)$ za koju postoji izvedeni izraz općeg rješenja: $$y \left( x \right) = e^{- \int p \left( x \right) dx} \left[ c + \int q \left( x \right) \cdot e^{\int p \left( x \right) dx} dx \right]$$ Dakle, nakon zamjene oznaka $y \rightarrow i$ i $x \rightarrow t$ i uvrštavanja $p \left( t \right) = \frac{1}{R \cdot C}$ i $q \left( t \right) = 0$ dobijemo: $$i \left( t \right) = e^{- \frac{1}{R \cdot C} \int dt} \left[ c + \int 0 \cdot e^{\frac{1}{R \cdot C} \int dt} dt \right] = e^{- \left( \frac{t}{R \cdot C} + k \right)} \cdot c = e^{- \frac{t}{R \cdot C}} \cdot e^{-k} \cdot c = c \cdot e^{- \frac{t}{R \cdot C}}$$ Umnožak konstanti $e^{-k}$ i $c$ smo sveli na nepoznatu konstantu $c$ koju dobijemo iz zadanog početnog uvjeta — kondenzator je na početku prazan $u_\text{C} \left( 0 \right) = 0 \text{ V}$ pa iz KZN za $t = 0 \text{ s}$ računamo: $$u_\text{R} \left( t \right) + u_\text{C} \left( t \right) = U \,\,\,\, \longrightarrow \,\,\,\, R \cdot i \left( 0 \right) + 0 = U \,\,\,\, \longrightarrow \,\,\,\, i \left( 0 \right) = \frac{U}{R}$$ Potom iz rješenja diferencijalne jednadžbe za $t = 0 \text{ s}$ računamo $c$: $$i \left( 0 \right) = c \cdot e^{- \frac{0}{R \cdot C}} \,\,\,\, \longrightarrow \,\,\,\, c = i \left( 0 \right) = \frac{U}{R}$$ Konačno rješenje za struju izvora je: $$i \left( t \right) = \frac{U}{R} \cdot e^{- \frac{t}{R \cdot C}} = \frac{U}{R} \cdot e^{- \frac{t}{\tau}}$$ Dakle, u rješenju smo uveli vremensku konstantu $\tau = R \cdot C$. Preko Ohmovog zakona izračunamo izraz na napon na otporniku: $$u_\text{R} \left( t \right) = R \cdot i \left( t \right) = U \cdot e^{- \frac{t}{\tau}}$$ A preko jednadžbe KZN $\left( u_\text{R} \left( t \right) + u_\text{C} \left( t \right) = U \right)$ možemo dobiti izraz za napon na kondenzatoru: $$u_\text{C} \left( t \right) = U - u_\text{R} \left( t \right) = U \cdot \left( 1 - e^{- \frac{t}{\tau}} \right)$$ Isti izraz za napon na kondenzatoru dobijemo i integriranjem: $$u_\text{C} = \frac{Q_\text{C}}{C} = \frac{\int_{0}^{t} i \left( t \right) dt}{C} = \frac{\int_{0}^{t} \frac{U}{R} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} dt}{C} = \frac{U}{R \cdot C} \int_{0}^{t} e^{-\frac{t}{\tau}} dt$$ Uz zamjenu $-\frac{t}{\tau} = x \,\, \rightarrow \,\, -\frac{dt}{\tau} = dx \,\, \rightarrow \,\, dt = - \tau dx$: $$u_\text{C} = - \tau \frac{U}{R \cdot C} \cdot \int_{0}^{t} e^x dx = - R \cdot C \frac{U}{R \cdot C} \cdot e^x \Big|_{0}^{t}$$ I nakon vraćanja $x = -\frac{t}{\tau}$ izvodimo konačni izraz: $$u_\text{C} = - U \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \Big|_{0}^{t} = -U \cdot \left( e^{-\frac{t}{\tau}} - e^{-\frac{0}{\tau}} \right) = -U \cdot \left( e^{-\frac{t}{\tau}} - 1 \right) = U \cdot \left( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right)$$