Kirchhoffovi zakoni

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE
INTERAKTIVNI NASTAVNI MATERIJALI

animacije · pokusi · lab. vježbe · simulacije · test pitanja · zadaci

Istosmjerni strujni krugovi · Kirchhoffovi zakoni

Slika 1

Nakon stavljanja strujnog kruga u pogon (npr. nakon zatvaranja sklopke — priključenja izvora) automatski se uspostavljaju strujne i naponske prilike u skladu s dva Kirchhoffova zakona. Prije razmatranja ovih zakona treba baratati sa sljedećim pojmovima:

grana — dio strujnog kruga kroz koji prolazi ista struja
čvor ili spojište — mjesto u kojem se sastaje nekoliko grana
kontura ili petlja — zatvoreni put koji obuhvaća više grana, ali svaku samo jednom
- nezavisne konture — razlikuju se od ostalih kontura barem za jednu granu

Broj čvorova u strujnom krugu označavamo sa $\check{c}$, broj grana je $g$, a broj nezavisnih kontura (petlji) je $n$. U prikazanom animiranom primjeru na slici 1 je: $\check{c}=2$, $g=3$ i $n=2$.

Ovdje ćemo razmatrati Kirchhoffove zakone za jednostavne strujne krugove sastavljene od otpornika i istosmjernih izvora. Kirchhoffovi zakoni dakako vrijede i za sve ostale strujne krugove. Zato se ponekad složeni strujni krugovi (električne mreže) nazivaju Kirchhoffove mreže.

Zakon za struje — I. Kirchhoffov zakon — KZS:

Algebarski zbroj struja u svakom čvorištu strujnog kruga mora biti nula!

Slika 2

Za naš primjer na slici 2 prvo proizvoljno ucrtamo* struje $I_1$, $I_2$ i $I_3$ kroz tri grane. U shemi postoje dva čvora pa je potrebno napisati samo jednu jednadžbu KZS*. Odlučimo se za čvor $a$ i za njega postavimo jednadžbu KZS: $$I_1-I_2-I_3=0$$

Prilikom pisanja ove jednadžbe struje koje imaju smjer prema čvoru $a$ su pozitivne, a one koje imaju smjer iz čvora $a$ imaju negativan predznak.

Jednadžbu KZS možemo zapisati i na drugi (ekvivalentni) način: $$I_1=I_2+I_3$$

Ovdje je struja koja ulazi u čvor $a$ s lijeve strane jednakosti, dok je zbroj struja koje izlaze iz čvora na desnoj strani jednakosti. Zato se Kirchhoffov zakon za struje može opisati ovako:

Zbroj struja koje ulaze u neki čvor jednak je zbroju struja koje iz tog čvora izlaze.

Umnožak struje i vremena jednak je naboju $Q$ pa ako jednadžbu $I_1=I_2+I_3$ pomnožimo s vremenom $t$ dobivamo: $$Q_1=Q_2+Q_3$$ Naboj koji ulazi u neki čvor jednak je naboju koji iz tog čvora odlazi. Zaključujemo da u čvoru strujnog kruga ne može nestati niti nastati naboj!

Za vježbu sami postavite jednadžbu KZS za čvor $b$ (pomoć).

Zakon za napone — II. Kirchhoffov zakon — KZN:

Algebarski zbroj napona u svakoj (zatvorenoj) konturi strujnog kruga je nula!

Slika 3

Nastavljamo s istim primjerom kao i za KZS. U skladu s već ucrtanim smjerovima struja na slici 3 označimo i referentne polaritete napona na trošilima (otpornicima). Na mjestu gdje struja ulazi u otpornik stavljamo plus. A na suprotnom kraju gdje struja izlazi iz otpornika stavimo minus. Za svaku nezavisnu konturu* treba postaviti jednadžbu KZN. Ovdje imamo dvije nezavisne konture pa ćemo imati i dvije jednadžbe KZN. Još trebamo zadati i smjer obilaženja za svaku konturu (u smjeru kazaljke na satu ili suprotno od kazaljke na satu). Ovdje ćemo zadati obilazak kontura $1$ i $2$ u smjeru kazaljke na satu, kako je i uobičajeno.

Prije pisanja jednadžbi KZN trebamo paziti na predznake napona uz zadani smjer obilaženja konture!

ako ulazimo u element kod minusa onda njegov napon ima pozitivan predznak!
ako ulazimo u element kod plusa onda njegov napon ima negativan predznak!

Onda su jednadžbe KZN za nezavisne konture $1$ i $2$: $$\begin{align}U-U_1-U_2&=0&(\text{1})\\U_2-U_3&=0&(\text{2})\end{align}$$

Jednadžbe KZN možemo zapisati i na drugi (ekvivalentni) način tako da razdvojimo napone izvora na lijevu stranu jednakosti i napone na otpornicima na desnu stranu jednakosti. Onda se KZN može opisati ovako:

U svakoj (zatvorenoj) konturi je algebarski zbroj napona izvora jednak algebarskom zbroju napona na otpornicima.

Sada treba opet pripaziti na predznake uz zadani smjer obilaska!

na lijevoj strani jednakosti (naponi izvora) je napon pozitivan ako ulazimo na minus izvora
na desnoj strani jednakosti (naponi na otpornicima) je napon pozitivan ako ulazimo na plus otpornika

Onda je alternativni zapis jednadžbi KZN za nezavisne konture $1$ i $2$: $$\begin{align}U&=U_1+U_2&(\text{1*})\\0&=-U_2+U_3&(\text{2*})\end{align}$$ Ovdje se lako vidi kako su jednadžbe $(\text{1})$ i $(\text{1*})$, odnosno $(\text{2})$ i $(\text{2*})$ ekvivalentne. Usput, vidimo da vrijedi $U_2=U_3$ (napon je jednak u svim granama paralele).

Interaktivni primjer:

Pomoću Kirchhoffovih zakona možemo izračunavati nepoznate struje/napone/snage u nekom strujnom krugu. Odredimo struje i napone u strujnom krugu na slici. Zadani su svi otpornici $R_1=8\text{ }\Omega$, $R_2=6\text{ }\Omega$ i $R_3=3\text{ }\Omega$ te napon izvora $U=10\text{ V}$. Nepoznate su struje $I_1$, $I_2$ i $I_3$, odnosno naponi na otpornicima (padovi napona) $U_1$, $U_2$ i $U_3$. Postupamo (u pet koraka) ovako:

označimo struje i proizvoljno im pridijelimo smjer
stavimo $+$ na stezaljku otpornika na koju struja ulazi i $-$ gdje struja izlazi iz otpornika
napišemo jednadžbe KZS (za struje koje imaju smjer prema čvoru stavimo predznak $+$, za struje koje imaju smjer iz čvora stavimo $-$)
odredimo smjer obilaženja nezavisnih kontura i napišemo jednadžbe KZN (ako kod obilaska ulazimo u element na $-$ onda njegov napon ima predznak $+$, a inače ima predznak $-$)
dobiveni sustav jednadžbi riješimo i dobivamo struje
- ako za neku struju dobijemo negativnu vrijednost znači da je pravi smjer struje obrnut od proizvoljno zadanog na početku
- i potom još izračunavamo nepoznate napone ⇒ ako za neki napon dobijemo negativnu vrijednost njegov pravi polaritet je obrnut

Preporučujemo da samostalno provedete u cijelosti gornji postupak postavljanja i rješavanja Kirchhoffovih zakona! Kirchhoffovi zakoni su temelj za razumijevanje pojava u svim električnim krugovima kao i postupaka za njihovu analizu.

Naravno da će za složenije strujne krugove broj jednadžbi biti veći (uvijek je jednak broju grana = nepoznatih struja). Električne krugove možemo podijeliti u dvije kategorije:

krugovi u kojima djeluje samo jedan izvor
krugovi u kojima djeluje više izvora (električne mreže)

Za složenije krugove (=veliki broj jednadžbi KZ) postoje drugi — jednostavniji načini rješavanja kojima se smanjuje broj jednadžbi KZ odnosno zaobilazi se postupak njihova rješavanja.

Vidimo da je naš opisani primjer zapravo krug prve kategorije — imamo samo jedan izvor $U$. U ovom primjeru je lakše postupno pojednostavniti serijsko-paralelni spoj nego ići na postavljanje i rješavanje sustava jednadžbi Kirchhoffovih zakona. Primjer postupka postupnog izračuna putem sažimanja serija i paralela u slučaju otporničke istosmjerne mreže pogledajte ovdje.

Ponekada se problem u strujnom krugu postavlja malo drugačije. Poznati su samo neki izvori, otpornici i struje (i naponi ili snage), a zatim se Kirchhoffovim jednadžbama izračunavaju ostale potrebne veličine. Upravo se pri rješavanju te druge vrste problema najbolje vidi razumijevanje ponašanja strujnog kruga u skladu s Kirchhoffovim zakonima. Stoga pokušajte riješiti ovaj problem i ustanovit ćete da li razumijete Kirchhoffove zakone u istosmjernim strujnim krugovima.

U nastavku možete provjeriti svoje znanje o ovoj temi:

KRATKA PROVJERA (1)

KRATKA PROVJERA (2)