Uz poznate otpore i napon izvora $U$ trebamo odrediti struju $I_5$ u mosnom spoju prema Slici $1$. Prvo povjerimo je li most u ravnoteži, odnosno vrijedi li ovdje jednakost $R_1 \cdot R_4 = R_2 \cdot R_3$. Ako je most u ravnoteži odgovor je jednostavan: $I_5 = 0 \text{ A}$, ali ako nije u ravnoteži preostaje nam složeniji problem određivanja struje $I_5$. Kako ovo nije jednostavni mješoviti spoj moramo rješavati Kirchhoffove zakone i/ili koristiti pretvorbu zvijezda $\longleftrightarrow$ trokut, a možemo iskoristiti neki od mrežnih teorema koji nam mogu pojednostavniti račun.

Nortonovim teoremom se cijela preostala mreža osim onog elementa/grane koja nas zanima zamijeni s jednim realnim strujnim izvorom (Nortonov izvor) struje $I_\text{N}$ (Nortonova struja) i unutarnjeg otpora $R_\text{N}$ (Nortonov otpor). U tom slučaju se naš problem sa Slike $1$ pretvara u mnogo jednostavniji spoj na Slici $2$, a tražena struja je onda po strujnom djelilu: $$I_5 = {I_\text{N} \cdot {R_\text{N} \over {R_\text{N} + R_5}}}$$ Naravno, kako bi ispravno primijenili Nortonov teorem moramo odrediti parametre Nortonovog izvora: $I_\text{N}$ i $R_\text{N}$!

Nortonov teorem je dual starijeg Theveninovog teorema, a njegovu ispravnost možemo provjeriti složenijim proračunom (Kirchhoffovi zakoni...) ili mjerenjem u stvarnom pokusu.

Kliknite ovdje za pokretanje simulacije koja pokazuje da je struja $I_5$ i na Slici $1$ i nakon primjene Nortonovog teorema na Slici $2$ ostala ista!

Povijest: Nortonov teorem su 1926. neovisno formulirali američki inženjer Edward Lawry Norton i njemački fizičar Hans Ferdinand Mayer.

Rješenje primjenom Nortonovog teorema:

1. izvadimo neki element (ili cijelu granu) između dvije točke iz kruga, a te dvije točke kratko spojimo sa žicom
   • ovdje izvadimo otpornik $R_5$ iz dijagonale mosta između točaka $\text{a}$ i $\text{b}$, a te točke kratko spojimo žicom:
2. preostali krug zamijenimo s nadomjesnim realnim strujnim (Nortonovim) izvorom sa strujom $I_\text{N}$ i unutarnjim (Nortonovim) otporom $R_\text{N}$:
   • Nortonova struja $I_\text{N}$ je jednaka struji $I_\text{ab}$ kroz žicu (pretpostavimo da ta struja kratkog spoja teče prema točki $\text{b}$):

     Zbog žice između točaka $\text{a}$ i $\text{b}$ dobili smo seriju dviju paralela: $R_1 || R_2$ i $R_3 || R_4$. Lako izračunamo po Ohmovom zakonu ukupnu struju $I_\text{a}$: $$I_\text{a} = {U \over {{{R_1 \cdot R_2} \over {R_1 + R_2}} + {{R_3 \cdot R_4} \over {R_3 + R_4}}}} = {12 \over {20 + 12}} = 0.375 \text{ A}$$ Potom postavimo jednadžbu Kirchhoffovog zakona za struje u točki $\text{a}$ (sami postavite KZS za točku $\text{b}$): $$I_\text{c} = I_\text{d} + I_\text{ab}$$ Zato nam trebaju struje $I_\text{c}$ i $I_\text{d}$ koje dobijemo iz formule za strujno djelilo: $$\begin{align} I_\text{c} &= {I_\text{a} \cdot {R_1 \over {R_1 + R_2}}} = {0.375 \cdot {60 \over {60 + 30}}} = 0.25 \text{ A} \\ I_\text{d} &= {I_\text{a} \cdot {R_3 \over {R_3 + R_4}}} = {0.375 \cdot {30 \over {30 + 20}}} = 0.225 \text{ A} \end{align}$$ Izračunate struje uvrstimo u izraz za struju $I_\text{ab}$ koja odgovara Nortonovoj struji $I_\text{N}$: $$I_\text{N} = I_\text{ab} = I_\text{c} - I_\text{d} = 0.25 - 0.225 = 0.025 \text{ A} = 25 \text{ mA}$$ Izračun možete provjeriti i virtualnom pokusu mjerenja struje u dijagonali mosta — samo postavite otpor $R_3 = 30 \text{ } \Omega$...

   • Nortonov otpor $R_\text{N}$ jednak je Theveninovom otporu. Dakle, moramo maknuti žicu između $\text{a}$ i $\text{b}$ pa tražimo otpor $R_\text{ab}$. Pritom trebamo kratko spojiti sve naponske izvore (otpor nula) i odspojiti sve strujne izvore (beskonačan otpor):

     Kakav je ovo spoj otpornika? Vidimo da su sada preostale točke $\text{c}$ i $\text{d}$ na istom potencijalu (kratko su spojene). Onda imamo paralelu $R_2 || R_4$ između točaka $\text{a}$ i $\text{c}$$=$$\text{d}$ te paralelu $R_1 || R_3$ između točaka $\text{b}$ i $\text{c}$$=$$\text{d}$. Te dvije paralele su u seriji (zbog $\text{c}$$=$$\text{d}$ $\longrightarrow$ skicirajte to na papiru) pa je Nortonov otpor: $$R_\text{N} = R_\text{ab} = \left( R_2 || R_4 \right) + \left( R_1 || R_3 \right) = {{{R_2 \cdot R_4} \over {R_2 + R_4}} + {{R_1 \cdot R_3} \over {R_1 + R_3}}} = 12 + 20 = 32 \text{ } \Omega$$

3. na kraju spojimo izvađeni element/granu na nadomjesni Nortonov izvor
   • rješavamo jednostavni paralelni krug $\longrightarrow$ otpornik $R_5$ spojen na Nortonov (realni strujni) izvor

     Struju $I_5$ računamo po strujnom djelilu kao: $$I_5 = {I_\text{N} \cdot {R_\text{N} \over {R_\text{N} + R_5}}} = {0.025 \cdot {32 \over {32+18}}} = 0.016 \text{ A}= 16 \text{ mA}$$ Na kraju, možemo još lako pronaći i pad napona na otporniku $R_5$ te njegovu snagu: $$\begin{align} U_5 = I_5 \cdot R_5 &= 0.288 \text{ V} \\[10pt] P_5 = U_5 \cdot I_5 &= 4.608 \text{ mW} \end{align} $$

Korisne napomene:

• kod traženja Nortonove struje u kompliciranijim mrežama možete iskoristiti i druge mrežne teoreme i metode (Millmanov teorem, metoda potencijala čvorova, superpozicija...)
• kod traženja Nortonovog otpora u težim slučajevima ćete morati koristiti transformacije zvijezda $\longleftrightarrow$ trokut
• PRIPAZITE: struja kroz trošilo (ovdje $R_5$) nije jednaka Nortonovoj struji $I_\text{N}$ jer dio te struje teče kroz unutarnji otpor $R_\text{N}$ Nortonovog izvora!
• realni strujni izvori se mogu pretvoriti u realne naponske izvore (i obratno) pa se tako možemo prebacivati iz Nortonovog izvora u Theveninov izvor
  • Theveninov otpor je jednak Nortonovom otporu (računa se na isti način), samo je kod Theveninovog izvora spojen serijski: $$R_\text{Th} = R_\text{N}$$
  • Theveninov napon je zapravo napon praznog hoda Nortonovog izvora (bez spojenog trošila): $$U_\text{Th} = {I_\text{N} \cdot R_\text{N}}$$