Uz poznate otpore i napon izvora $U$ trebamo odrediti struju $I_5$ u mosnom spoju prema Slici $1$. Prvo povjerimo je li most u ravnoteži, odnosno vrijedi li ovdje jednakost $R_1 \cdot R_4 = R_2 \cdot R_3$. Ako je most u ravnoteži odgovor je jednostavan: $I_5 = 0 \text{ A}$, ali ako nije u ravnoteži preostaje nam složeniji problem određivanja struje $I_5$. Kako ovo nije jednostavni mješoviti spoj moramo rješavati Kirchhoffove zakone i/ili koristiti pretvorbu zvijezda $\longleftrightarrow$ trokut, a možemo iskoristiti neki od mrežnih teorema koji nam mogu pojednostavniti račun.

Theveninovim teoremom se cijela preostala mreža osim onog elementa/grane koja nas zanima zamijeni s jednim realnim naponskim izvorom (Theveninov izvor) napona $U_\text{Th}$ (Theveninov napon) i unutarnjeg otpora $R_\text{Th}$ (Theveninov otpor). U tom slučaju se naš problem sa Slike $1$ pretvara u mnogo jednostavniji spoj na Slici $2$, a tražena struja je onda po Ohmovom zakonu: $$I_5 = {U_\text{Th} \over {R_\text{Th} + R_5}}$$ Naravno, kako bi ispravno primijenili Theveninov teorem moramo odrediti parametre Theveninovog izvora: $U_\text{Th}$ i $R_\text{Th}$!

Ispravnost rezultata Theveninovog teorema možemo provjeriti složenijim proračunom (Kirchhoffovi zakoni...) ili mjerenjem u stvarnom pokusu.

Kliknite ovdje za pokretanje simulacije koja pokazuje da je struja $I_5$ i na Slici $1$ i nakon primjene Theveninovog teorema na Slici $2$ ostala ista!

Povijest: Theveninov teorem je teorijski i praktično formulirao francuski inženjer Léon Charles Thévenin 1883.

Rješenje primjenom Theveninovog teorema:

1. izvadimo neki element (ili cijelu granu) između dvije točke iz kruga
   • ovdje izvadimo otpornik $R_5$ iz dijagonale mosta između točaka $\text{a}$ i $\text{b}$:
2. preostali krug zamijenimo s nadomjesnim realnim naponskim (Theveninovim) izvorom $\longrightarrow$ (Theveninov) napon $U_\text{Th}$ i unutarnji (Theveninov) otpor $R_\text{Th}$:
   • Theveninov napon $U_\text{Th}$ je jednak naponu $U_\text{ab}$ (napon praznog hoda) — pretpostavimo da je točka $\text{a}$ na višem potencijalu od točke $\text{b}$:

     Ucrtali smo polaritete padova napona prema pretpostavljenim smjerovima struja ($+$ gdje struja ulazi u otpornik). Za napon $U_\text{ab}$ idemo unatrag od točke $\text{b}$ prema točki $\text{a}$ kroz krug (odabrali smo put preko otpornika $R_3$ i $R_4$) i skupljamo napone $\longrightarrow$ ako ulazimo u $+$ otpornika stavimo predznak $-$ (napon na otporniku pada), a ako ulazimo u $-$ otpornika stavimo predznak $+$ (poništavamo pad napona na otporniku): $$U_\text{ab} = {-U_3 + U_4}$$ Onda raspišemo napone $U_3$ i $U_4$ preko naponskih djelila za donju i gornju paralelu (obije paralele su na naponu $U$): $$U_\text{ab} = {-{U \cdot {R_3 \over {R_1 + R_3}}} + {U \cdot {R_4 \over {R_2 + R_4}}}}$$ Nakon uvrštavanja vrijednosti napona $U$ i otpora dobijemo Theveninov napon: $$U_\text{Th} = U_\text{ab} = -4 + 4.8 = 0.8 \text{ V}$$ Izračun možete provjeriti i virtualnom pokusu mjerenja napona u dijagonali mosta — samo postavite otpor $R_3 = 30 \text{ } \Omega$...

   • Theveninov otpor $R_\text{Th}$ je jednak otporu $R_\text{ab}$ ako pritom kratko spojimo sve naponske izvore (otpor nula) i odspojimo sve strujne izvore (beskonačan otpor):

     Kakav je ovo spoj otpornika? Vidimo da su sada preostale točke $\text{c}$ i $\text{d}$ na istom potencijalu (kratko su spojene). Onda imamo paralelu $R_2 || R_4$ između točaka $\text{a}$ i $\text{c}$$=$$\text{d}$ te paralelu $R_1 || R_3$ između točaka $\text{b}$ i $\text{c}$$=$$\text{d}$. Te dvije paralele su u seriji (zbog $\text{c}$$=$$\text{d}$ $\longrightarrow$ skicirajte to na papiru) pa je Theveninov otpor: $$R_\text{Th} = R_\text{ab} = \left( R_2 || R_4 \right) + \left( R_1 || R_3 \right) = {{{R_2 \cdot R_4} \over {R_2 + R_4}} + {{R_1 \cdot R_3} \over {R_1 + R_3}}} = 12 + 20 = 32 \text{ } \Omega$$

3. na kraju spojimo izvađeni element/granu na nadomjesni Theveninov izvor
   • rješavamo jednostavni serijski krug $\longrightarrow$ otpornik $R_5$ spojen na Theveninov (realni naponski) izvor

     Struju $I_5$ (ovdje je to ukupna struja u seriji) računamo po Ohmovom zakonu kao: $$I_5 = {U_\text{Th} \over {R_\text{Th} + R_5}} = {4.8 \over {32 + 18}} = 0.016 \text{ A} = 16 \text{ mA}$$ Na kraju, možemo još lako pronaći i pad napona na otporniku $R_5$ te njegovu snagu: $$\begin{align} U_5 = I_5 \cdot R_5 &= 0.288 \text{ V} \\[10pt] P_5 = U_5 \cdot I_5 &= 4.608 \text{ mW} \end{align} $$

Korisne napomene:

• vidimo da je postupak rješenja po Theveninu bitno jednostavniji nego rješavanje sustava Kirchhoffovih jednadžbi i/ili transformacije zvijezda $\longleftrightarrow$ trokut
• kod traženja Theveninovog napona u kompliciranijim mrežama možete iskoristiti i druge mrežne teoreme i metode (Millmanov teorem, metoda potencijala čvorova, superpozicija...)
• kod traženja Theveninovog otpora u težim slučajevima ćete morati koristiti transformacije zvijezda $\longleftrightarrow$ trokut
• PRIPAZITE: napon na trošilu (ovdje $R_5$) nije jednak Theveninovom naponu $U_\text{Th}$ jer se dio tog napona već potroši na unutarnjem otporu $R_\text{Th}$ Theveninovog izvora!
• Theveninov teorem je jako koristan kod traženja najveće snage na trošilu $\longrightarrow$ mora vrijediti $R_\text{t} = R_\text{Th}$, odnosno treba namjestiti trošilo $R_\text{t}$ tako da bude jednako Theveninovom otporu $R_\text{Th}$!
• realni naponski izvori se mogu pretvoriti u realni strujni izvor (i obratno) pa tako i Theveninov teorem ima svoj dualni oblik — Nortonov teorem (možemo se prebacivati iz jednog u drugi)
  • po Nortonovom teoremu izvadimo neki element/granu, na to mjesto stavljamo žicu te preostali dio mreže zamjenjujemo s realnim strujnim izvorom sa strujom kratkog spoja $I_\text{N}$ i unutarnjim otporom $R_\text{N}$
  • Nortonov otpor je jednak Theveninovom otporu (računa se na isti način), samo je kod Nortonovog izvora spojen paralelno: $$R_\text{N} = R_\text{Th}$$
  • Nortonova struja prolazi kroz postavljenu žicu $\longrightarrow$ to je zapravo struja kratkog spoja Theveninovog izvora: $$I_\text{N} = {U_\text{Th} \over R_\text{Th}}$$