|
U virtualnom pokusu mjerimo struju kroz dijagonalu električnog mosta koji je sastavljen od otpornika i priključen je na istosmjeren napon $U$. Kao otpornik $R_3$ koristimo promjenjivi (klizni) otpornik od $100 \text{ } \Omega$. Klizni otpornici imaju tri priključnice: dvije krajnje priključnice i kliznik. U ovom slučaju klizni otpornik spajamo u krug preko samo dvije točke — jedne krajnje priključnice i kliznika. Tako možemo namještati puni raspon otpora $0 - 100 \text{ } \Omega$. U virtualnom pokusu struju $I_\text{ab}$ mjerimo idealnim ampermetrom (otpor nula, $R_\text{A} = 0 \text{ } \Omega$), a u stvarnom pokusu bi koristili realni ampermetar (ima vrlo mali otpor, $R_\text{A} > 0 \text{ } \Omega$).
Kroz pokus želimo saznati kako struja $I_\text{ab}$ ovisi o iznosu promjenjivog otpora $R_3$. Dok pomičemo kliznik mijenja se očitanje ampermetra i iscrtava se graf struje $I_\text{ab}$ kao funkcije promjenjivog otpora $R_3$. Iz uvjeta ravnoteže (prema oznakama na shemi: $R_1 \cdot R_4 = R_2 \cdot R_3$) izračunamo otpor $R_3 = 40 \text{ } \Omega$ pri kojem će most biti u ravnoteži $\left( I_\text{ab} = 0 \text{ A} \right)$. Vidimo da je za $R_3 < 40 \text{ } \Omega$ struja $I_\text{ab}$ ima smjer od točke $\text{a}$ prema točki $\text{b}$ (na shemi vidimo da je to i pretpostavljeni smjer te struje), dok je za otpore $R_3 > 40 \text{ } \Omega$ struja $I_\text{ab}$ negativna — ima obrnuti smjer.
Pitanje: Možete li matematički odrediti funkciju struje $I_\text{ab} = f \left( R_3 \right)$? Kliknite ovdje za odgovor...
U pokusu se koristi idealni ampermetar koji otpor nula. Dakle, točke $\text{a}$ i $\text{b}$ su kratko spojene pa se krug svodi na seriju dvije paralele $R_1 || R_2$ i $R_3 || R_4$. Prema ucrtanim smjerovima struja postavimo KZS za točku $\text{a}$:
$$I_2 = I_\text{ab} + I_4 \,\,\, \longrightarrow \,\,\, I_\text{ab} = I_2 - I_4$$
Struju $I_2$ dobijemo preko formule za strujno djelilo u prvoj paraleli:
$$I_2 = {I \cdot {R_1 \over {R_1 + R_2}}}$$
A struju $I_4$ dobijemo uz strujno djelilo za prvu paralelu:
$$I_4 = {I \cdot {R_3 \over {R_3 + R_4}}}$$
Onda je struja $I_\text{ab}$ nakon malo sređivanja:
$$I_\text{ab} = I_2 - I_4 = {I \cdot \left( {R_1 \over {R_1 + R_2}} - {R_3 \over {R_3 + R_4}} \right)} = {I \cdot \left( {2 \over 3} - {R_3 \over {R_3 + 20}} \right)} = {I \cdot { {-R_3 + 40} \over {3 \cdot \left( R_3 + 20 \right)}}} = {{1 \over 3} \cdot I \cdot { {40 - R_3} \over {R_3 + 20}}}$$
Izraz za ukupnu struju $I$ je:
$$I = {U \over {\left( R_1 || R_2 \right) + \left( R_3 || R_4 \right)}} = {U \over {{{R_1 \cdot R_2} \over {R_1+R_2}} + {{R_3 \cdot R_4} \over {R_3+R_4}}}}$$
Ako u ukupnu struju uvrstimo poznate vrijednosti i sve sredimo dobijemo:
$$I = {12 \over {20 + {{20 R_3} \over {R_3 + 20} }}} = {12 \over {{40R_3 + 400} \over {R_3 + 20} }} = {{12 \cdot \left( R_3 + 20 \right)} \over {40 \cdot \left(R_3 + 10\right)}} = {{3 \over 10} \cdot {{R_3 + 20} \over {R_3 + 10}}}$$
I na kraju ukupnu struju uvrstimo u izraz za $I_\text{ab}$:
$$I_\text{ab} = {{1 \over 3} \cdot {{3 \over 10} \cdot {{R_3 + 20} \over {R_3 + 10}}} \cdot { {40 - R_3} \over {R_3 + 20}}}$$
Nakon dodatnog sređivanja dobili smo traženu funkciju $I_\text{ab} = f \left( R_3 \right)$:
$$I_\text{ab} = f \left( R_3 \right) = {0.1 \cdot {{40 - R_3} \over {R_3 + 10}}}$$
U stvarnom pokusu bi trebalo vrijednosti struja upisivati u odgovarajući tablicu, a zatim nacrtati graf. Treba odrediti za koje iznose otpora $R_3$ želimo očitavati (mjeriti) struju. Prije pokusa treba računski ustanoviti koje vrijednosti struja se očekuju za odabrani skup otpornika od kojih sastavljamo most. Ako smo dobro odabrali elemente mosta dobivamo struju koji će se mijenjati od pozitivnih do negativnih vrijednosti, tj. proći ćemo kroz stanje ravnoteže $\left( I_\text{ab} = 0 \text{ A} \right)$.
U preciznijim pokusima treba uzeti u obzir i otpor realnog ampermetra — u proračunu ga onda smatramo otpornikom $R_\text{A} > 0 \text{ } \Omega$ u dijagonali mosta. Izračun je zbog toga složeniji, ali u tom slučaju nam pomažu Theveninov teorem (kliknite za više detalja) i Nortonov teorem kojima se dio kruga može zamijeniti s realnim naponskim ili realnim strujnim izvorom.
Primjena Theveninovog teorema:
- izvadimo neki element (ili cijelu granu) između dvije točke iz kruga (ovdje: dijagonala mosta između točaka $\text{a}$ i $\text{b}$)
- preostali krug zamijenimo s nadomjesnim realnim naponskim (Theveninovim) izvorom $\longrightarrow$ (Theveninov) napon $U_\text{Th}$ i unutarnji (Theveninov) otpor $R_\text{Th}$:
- Theveninov napon $U_\text{Th}$ je jednak naponu $U_\text{ab}$ (napon praznog hoda)
- Theveninov otpor $R_\text{Th}$ je jednak otporu $R_\text{ab}$ ako pritom kratko spojimo sve naponske izvore (otpor nula) i odspojimo sve strujne izvore (beskonačan otpor)
- na kraju spojimo izvađeni element/granu na nadomjesni Theveninov izvor
- rješavamo jednostavni serijski krug $\longrightarrow$ element/grana spojena na realni naponski izvor
Primjena Nortonovog teorema:
- izvadimo neki element (ili cijelu granu) između dvije točke iz kruga, a te dvije točke kratko spojimo sa žicom (ovdje: dijagonala mosta između točaka $\text{a}$ i $\text{b}$)
- preostali krug zamijenimo s nadomjesnim realnim strujnim (Nortonovim) izvorom $\longrightarrow$ (Nortonova) struja $I_\text{N}$ i unutarnji (Nortonov) otpor $R_\text{N}$:
- Nortonova struja $I_\text{N}$ je jednaka struji kroz žicu $I_\text{ab}$ (struja kratkog spoja)
- Nortonov otpor $R_\text{N}$ je jednak Theveninovom otporu $R_\text{Th}$ $\longrightarrow$ to je otpor $R_\text{ab}$ ako pritom maknemo žicu između $\text{a}$ i $\text{b}$, kratko spojimo sve naponske izvore (otpor nula) i odspojimo sve strujne izvore (beskonačan otpor)
- na kraju spojimo izvađeni element/granu na nadomjesni Nortonov izvor
- rješavamo jednostavni paralelni krug $\longrightarrow$ element/grana spojena na realni strujni izvor
Pretvorba Theveninov izvor $\longleftrightarrow$ Nortonov izvor
- odgovara pretvorbi realni naponski izvor $\longleftrightarrow$ realni strujni izvor (korisno pri rješavanju zadataka!)
- unutarnji otpori su jednaki, samo je kod Theveninovog izvora spojen serijski (realni naponski izvor), a kod Nortonovog izvora spojen paralelno (realni strujni izvor):
$$R_\text{Th} = R_\text{N}$$
- veza između Theveninovog napona i Nortonove struje:
$$\begin{align} U_\text{Th} &= {R_\text{Th} \cdot I_\text{N}} \\[10pt] I_\text{N} &= {U_\text{Th} \over R_\text{Th}} \end{align}$$
|
