Zvijezda ↔ trokut (DC)

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE
INTERAKTIVNI NASTAVNI MATERIJALI

animacije · pokusi · lab. vježbe · simulacije · test pitanja · zadaci

Istosmjerni strujni krugovi · Pretvorba zvijezda ↔ trokut

Prilikom rješavanja zadataka moguće je susresti složeniji krug koji nije kombinacija serija i paralela otpornika, npr: mosni spoj:

Slika $1$

krug na Slici $1$ ne možemo pojednostavniti sažimanjem serija i paralela otpornika jer nam smeta otpornik $R_5$
prvo uvijek provjerimo da li je most u ravnoteži — usporedimo umnoške otpornika po dijagonalama, ovdje bismo provjeravali: $$R_1 \cdot R_4 = R_2 \cdot R_3$$
- ako su umnošci isti, most je u ravnoteži i otpornik $R_5$ možemo ili maknuti ili zamijeniti sa žicom (preostaje nam jednostavni mješoviti spoj otpornika koji znamo riješiti...)
- ako umnošci nisu isti, most nije u ravnoteži pa ne možemo ukloniti otpornik $R_5$, što nam komplicira račun
  - uočimo da u ovom spoju imamo dvije zvijezde (prikaži prvu i drugu) te dva trokuta (prikaži prvi i drugi)

Takve probleme možete uvijek riješiti i primjenom Kirchhoffovih zakona (sustav jednadžbi prema KZS i KZN), ali često je lakše koristiti pretvorbu (transformaciju) elemenata spojenih u zvijezdu u ekvivalentni spoj u trokut i obratno (Slika $2$). Time ne mijenjamo uvjete u električnom krugu (ukupni otpor, struja izvora te potencijali točaka ostaju isti), ali olakšamo rješavanje zadatka jer dalje možemo pojednostavniti krug korištenjem formula za seriju i/ili paralelu elemenata.

Na Slici $2$ je kao primjer izdvojen zvijezda spoj iz neke složenije el. mreže. Povlačenjem preklopke dobijete transformirani ekvivalentni trokut spoj, a da su pritom točke $1$, $2$ i $3$ ostale na istom potencijalu! Obratite pozornost na zajedničku točku $0$ (zvjezdište) po kojoj ćete lako prepoznati da se radi o zvijezda spoju. Vodite računa da su u zadatku koji rješavate moguće i drugačije oznake točaka (npr. $\text{N}$, $\text{R}$, $\text{S}$ i $\text{T}$ kod trofaznih mreža).

Slika $2$

formule za pretvorbu: ZVIJEZDA $\longrightarrow$ TROKUT

$$\begin{align} R_{12} &= {R_1 \cdot R_2 \over R_\text{Y}} \\[10pt] R_{23} &= {{R_2 \cdot R_3} \over R_\text{Y}} \\[10pt] R_{31} &= {{R_3 \cdot R_1} \over R_\text{Y}} \end{align}$$

otpor zvijezde $R_\text{Y}$ računamo iz paralele: $${1 \over R_\text{Y}} = {1 \over R_1} + {1 \over R_2} + {1 \over R_3}$$

formule za pretvorbu: TROKUT $\longrightarrow$ ZVIJEZDA

$$\begin{align} R_1 &= {{R_{12} \cdot R_{31}} \over R_\Delta} \\[10pt] R_2 &= {{R_{12} \cdot R_{23}} \over R_\Delta} \\[10pt] R_3 &= {{R_{23} \cdot R_{31}} \over R_\Delta} \end{align}$$

otpor trokuta $R_\Delta$ računamo kao seriju: $$R_\Delta = R_{12} + R_{23} + R_{31}$$

Za savjet kako upamtiti navedene formule kliknite ovdje...
Kliknite ovdje za pokretanje simulacije koja pokazuje da je ukupna struja u krugu i prije i nakon transformacije zvijezda $\longleftrightarrow$ trokut ista!
- početni krug (mosni spoj spojen na istosmjerni naponski izvor $12 \text{ V}$) transformiran je na sva četiri moguća načina:
  1. lijevi trokut $10-50-40 \text{ } \Omega$ u zvijezdu $4-5-20 \text{ } \Omega$
  2. desni trokut $30-50-20 \text{ } \Omega$ u zvijezdu $15-10-6 \text{ } \Omega$
  3. gornja zvijezda $10-50-30 \text{ } \Omega$ u trokut $46-76.667-230 \text{ } \Omega$
  4. donja zvijezda $50-40-20 \text{ } \Omega$ u trokut $190-95-76 \text{ } \Omega$
- nakon transformacije smo dobili mješoviti spoj otpornika koji potom možemo postupno pojednostavniti...
- u sva četiri slučaja trenutna vrijednost struje je jednaka!
- sami probajte ispitati potencijale točaka (npr. s desnim klikom miša odaberite iz izbornika Outputs and Labels pa Add Test Point, a potom klikom i povlačenjem iz nekog čvora u krugu dodajete testnu točku na kojoj možete očitati napon)
- Info: u ovom primjeru koristimo jednostavni online simulator električnih krugova © Circuit Simulator
formule za pretvorbu impedancija u izmjeničnim krugovima su analogne ovima koje koristimo za pretvorbu otpornika u istosmjernim krugovima, samo je račun složeniji zbog kompleksnih brojeva $\rightarrow$ pogledajte ovdje

Kao pomoć nudimo vam kalkulator za pretvorbu otpora iz zvijezde u trokut i obratno. Potrebno je upisati otpore zadanog spoja i kliknuti na IZRAČUNAJ.

Kalkulator za pretvorbu ZVIJEZDA $\longrightarrow$ TROKUT:

ZVIJEZDA

$R_1 = $$\text{ } \Omega$

$R_2 = $$\text{ } \Omega$

$R_3 = $$\text{ } \Omega$

EKVIVALENTNI TROKUT

$$\begin{align}R_{12} &= 30 \text{ } \Omega \\[10pt] R_{23} &= 30 \text{ } \Omega \\[10pt] R_{31} &= 30 \text{ } \Omega \end{align}$$

Kalkulator za pretvorbu TROKUT $\longrightarrow$ ZVIJEZDA:

TROKUT

$R_{12} = $$\text{ } \Omega$

$R_{23} = $$\text{ } \Omega$

$R_{31} = $$\text{ } \Omega$

EKVIVALENTNA ZVIJEZDA

$$\begin{align}R_1 &= 10 \text{ } \Omega \\[10pt] R_2 &= 10 \text{ } \Omega \\[10pt] R_3 &= 10 \text{ } \Omega \end{align}$$