Induktivni i kapacitivni otpori ovise o frekvenciji. Pojedinačno su to jednostavne funkcijske ovisnosti, ali kada ove elemente ugradimo u složeniji strujni krug funkcijske ovisnosti mogu postati složene. Za njihovo razumijevanje bio je potreban odgovarajući matematički aparat, odnosno matematička analiza. U današnje vrijeme možemo pomoću računalnih programa vizualizirati takve ovisnosti, izvršiti analizu utjecaja pojedinih elemenata te ih oblikovati za neku tehničku primjenu. Kao primjer takvog pristupa ovdje možete pogledati frekvencijske ovisnosti (karakteristike) za serijski $RLC$ krug. U početku je $R = 900 \text{ } \Omega$, $L = 40 \text{ mH}$ i $C = 22 \text{ nF}$. Sinusni napon na koji je priključen spoj ima efektivnu vrijednost $U = 6 \text{ V}$, a raspon frekvencija je od $0$ do $20 \text{ kHz}$. U elektrotehničkom laboratoriju ćete realizirati isti pokus i snimiti ovisnost napona i struje izvora o frekvenciji. Na slici je prikazana osnovna shema spoja. Potreban je odgovarajući izvor promjenjive frekvencije (funkcijski generator).

Izvodimo virtualni pokus jer pomoću kliznika možete mijenjati parametre kruga (iznose $R$, $L$ i $C$) i istovremeno promatrati njihov utjecaj na oblik funkcija napona, struje, impedancije, faznog kuta i snaga (birate grafove klikom na odgovarajuće tipke). Za fazni kut je zanimljiv oblik funkcije kada se otpor $R$ smanjuje. Oko rezonantne frekvencije $f_\text{rez}$ mijenja se karakter kruga — na frekvencijama manjim od rezonantne je karakter kruga kapacitivan ($\varphi < 0°$), a na frekvencijama većim od rezonantne karakter kruga je induktivan ($\varphi > 0°$). Zanimljiv je i slučaj kada je otpor u $RLC$ krugu minimalan $R = 0 \text{ } \Omega$. Događa se naime fazni skok u kojem krug naglo promijeni karakter iz kapacitivnog $\varphi = \left( -90° \right)$ u induktivni $\varphi = \left( +90° \right)$. To se događa na rezonantnoj frekvenciji $\omega_0 = {1 \over \sqrt{L C}}$, odnosno $f_\text{rez} = {1 \over {2 \pi \sqrt{L C}}}$ koja za ovako odabrane elemente iznosi oko $5 \text{ kHz}$. Na toj frekvenciji se izjednače induktivni otpor $X_\text{L}$ i kapacitivni otpor $X_\text{C}$!

Još ćemo navesti nekoliko važnih činjenica na koje bi čitatelji trebali obratiti pozornost:

1. Smanjivanjem otpora maksimumi napona $U_\text{L}$ i $U_\text{C}$ se povećavaju uz istovremeno približavanje rezonantnoj frekvenciji. Ti maksimumi mogu biti i veći od napona izvora $U$! To nadvišenje napona nestaje s povećavanjem otpora $R$. Na rezonantnoj frekvenciji su naponi na $L$ i $C$ jednaki. Odnos napona na zavojnici (ili kondenzatoru) i napona na otporniku pri rezonantnoj frekvenciji (kada vrijedi $U=U_\text{R}$) naziva se faktor dobrote $Q$. (klikni za detalje)
   • faktor dobrote kao omjer napona na zavojnici i otporniku pri rezonantnoj frekvenciji:$$Q={U_\text{L(rez)} \over U_\text{R(rez)}}={{I_\text{rez} X_\text{L(rez)}} \over {I_\text{rez} R}}={{\omega_0 L} \over R}={{{1 \over \sqrt{L C}} L} \over R}={\sqrt{L} \over {R \sqrt{C}}}$$
   • faktor dobrote kao omjer napona na kondenzatoru i otporniku pri rezonantnoj frekvenciji:$$Q={U_\text{C(rez)} \over U_\text{R(rez)}}={{I_\text{rez} X_\text{C(rez)}} \over {I_\text{rez} R}}={1 \over {\omega_0 C R}}={1 \over {{1 \over \sqrt{L C}} C R}}={\sqrt{L} \over {R \sqrt{C}}}$$
2. Ako je $Q>1$ onda su pri rezonantnoj frekvenciji naponi na kondenzatoru i zavojnici veći od napona na otporniku, odnosno veći od napona izvora!
3. Napon na kondenzatoru $C$ ima maksimum na frekvenciji nižoj od rezonantne. (klikni za izvod funkcije napona na kondenzatoru)
   $$U_\text{C} \left( f \right) = |\dot{U}_\text{C}| = |-\text{j} X_\text{C} \dot{I}| = {{1 \over {\omega C}}} {U \over \sqrt{R^2 + \left( \omega L - {1 \over {\omega C}} \right)^2}} = {{U} \over {2 \pi f C \sqrt{R^2 + \left( 2 \pi f L - {1 \over {2 \pi f C}} \right)^2}}}$$

   • maksimum napona na kondenzatoru se postiže pri sljedećoj frekvenciji (izvedite sami za vježbu!):$$f = {{\sqrt{2Q^2 - 1} \cdot f_\text{rez}} \over {\sqrt{2} \cdot Q}}$$
   • i maksimum napona na kondenzatoru je:$$U_\text{C (maks.)} = {U {{2Q^2} \over \sqrt{4Q^2 - 1}}}$$
   • Pažnja: maksimum postoji samo ako vrijedi $Q > {1 \over \sqrt{2}}$! Inače, nema maksimuma i napon na kondenzatoru samo pada od $U$ prema $0 \text{ V}$ kako povećavamo $f$.
4. Napon na zavojnici $L$ ima maksimum na frekvenciji višoj od rezonantne. (klikni za izvod funkcije napona na zavojnici)
   $$U_\text{L} \left( f \right) = |\dot{U}_\text{L}| = |+\text{j} X_\text{L} \dot{I}| = {\omega L} {U \over \sqrt{R^2 + \left( \omega L - {1 \over {\omega C}} \right)^2}} = {{2 \pi f L U} \over \sqrt{R^2 + \left( 2 \pi f L - {1 \over {2 \pi f C}} \right)^2}}$$

   • maksimum napona na zavojnici se postiže pri sljedećoj frekvenciji (izvedite sami za vježbu!):$$f = {{\sqrt{2} \cdot f_\text{rez} \cdot Q} \over \sqrt{2Q^2 - 1}}$$
   • i maksimum napona na zavojnici je:$$U_\text{L (maks.)} = {U {{2Q^2} \over \sqrt{4Q^2 - 1}}}$$
   • Pažnja: maksimum postoji samo ako vrijedi $Q > {1 \over \sqrt{2}}$! Inače, nema maksimuma i napon na zavojnici samo raste od $0 \text{ V}$ prema $U$ kako povećavamo $f$.
5. Napon na otporniku $U_\text{R}$ na rezonantnoj frekvenciji ima maksimum (jednak naponu izvora $U$). Oblik krivulje se sužava sa smanjivanjem otpora! (klikni za izvod funkcije napona na otporniku)
   $$U_\text{R} \left( f \right) = |\dot{U}_\text{R}| = |R \dot{I}| = {R} {U \over \sqrt{R^2 + \left( \omega L - {1 \over {\omega C}} \right)^2}} = {{RU} \over \sqrt{R^2 + \left( 2 \pi f L - {1 \over {2 \pi f C}} \right)^2}}$$

   • maksimum napona na otporniku se postiže pri rezonantnoj frekvenciji (izvedite sami za vježbu!):$$f = {1 \over { 2 \pi \sqrt{LC}}}$$
   • i maksimum napona na otporniku je jednak naponu izvora:$$U_\text{R (maks.)} = U$$
6. Struja ima maksimum $I_0 = {U \over R}$ na rezonantnoj frekvenciji (kada vrijedi $X_\text{L} = X_\text{C}$). Krivulja struje se sa smanjivanjem otpora povisuje uz istovremeno sužavanje. Važne su frekvencije na kojima se struja u krugu (ili napon na otporniku) smanji s maksimuma za $\sqrt{2}$ puta — tada se radna snaga smanji za $2$ puta. To su donja granična frekvencija $f_\text{dg}$ i gornja granična frekvencija $f_\text{dg}$. Fazni kut je na donjoj graničnoj frekvenciji $-45°$ (onda vrijedi $\underline{Z} = R - \text{j}R$, odnosno $X_\text{L}-X_\text{C} = -R$ jer je $X_\text{C} > X_\text{L}$), a na gornjoj graničnoj frekvenciji $+45°$ (onda vrijedi $\underline{Z} = R + \text{j}R$, odnosno $X_\text{L}-X_\text{C} = R$ jer je $X_\text{L} > X_\text{C}$). Razlika između gornje i donje granične frekvencije naziva se širina frekvencijskog pojasa $\Delta f$. Ta širina postaje sve manja sa smanjivanjem otpora $R$. (klikni za izvod funkcije struje)
   $$I \left( f \right) = |\dot{I}| = \left| {\dot{U} \over \underline{Z}} \right| = {U \over \sqrt{R^2 + \left( \omega L - {1 \over {\omega C}} \right)^2}} = {U \over \sqrt{R^2 + \left( 2 \pi f L - {1 \over {2 \pi f C}} \right)^2}}$$

   • maksimum struje se postiže pri rezonantnoj frekvenciji (izvedite sami za vježbu!):$$f = {1 \over { 2 \pi \sqrt{LC}}}$$
   • i maksimum struje je jednak:$$I_\text{maks.} = {U \over R}$$
7. Modul impedancije $\underline{Z}$ ima minimalnu vrijednost pri rezonantnoj frekvenciji jer tada vrijedi $X_\text{L} = X_\text{C}$ pa je $Z_\text{ min}=R$! (klikni za izvod funkcije modula impedancije)
   $$Z \left( f \right) = |\underline{Z}| = \sqrt{R^2 + \left( \omega L - {1 \over {\omega C}} \right)^2} = \sqrt{R^2 + \left( 2 \pi f L - {1 \over {2 \pi f C}} \right)^2}$$
8. Krivulja promjene faznog kuta $\varphi$ serijskog $RLC$ spoja, od $-90°$ do $+90°$ postaje sve strmija kada se otpor smanjuje. Na rezonantnoj frekvenciji fazni kut je nula! (klikni za izvod funkcije faznog kuta)
   $$\varphi \left( f\right) = \arctan {{\text{Im} \underline{Z}} \over {\text{Re} \underline{Z}}} = \arctan {{X_\text{L} - X_\text{C}} \over {R}} = \arctan {{\omega L - {1 \over {\omega C}}} \over {R}} = \arctan {{\omega^2 L C - 1} \over {\omega R C}} = \arctan {{4 \pi^2 f^2 L C - 1} \over {2 \pi f R C}}$$
9. Radna snaga je najveća za rezonantnu frekvenciju, $P_\text{maks} = {U^2 \over R}$. Tada je induktivna i kapacitivna snaga jednaka pa je ukupna reaktivna (jalova) snaga nula, a radna snaga je jednaka prividnoj snazi. Na frekvencijama manjim od rezonantne prevladava kapacitivna, a na višim induktivna reaktivna snaga. (klikni za izvod funkcija snaga)
   • prividna snaga:$$S \left( f \right)={U I}={U^2 \over Z}={U^2 \over \sqrt{R^2 + \left( \omega L - {1 \over {\omega C}} \right)^2}}={U^2 \over \sqrt{R^2 + \left( 2 \pi f L - {1 \over {2 \pi f C}} \right)^2}}$$
   • radna snaga:$$P \left( f \right)={I^2 R}=\left( U \over \sqrt{R^2 + \left( \omega L - {1 \over {\omega C}} \right)^2} \right)^2 R={R U^2 \over {R^2 + \left( 2 \pi f L - {1 \over {2 \pi f C}} \right)^2}}$$
   • induktivna jalova (reaktivna) snaga:$$Q_\text{L} \left( f \right)={I^2 X_\text{L}}=\left( U \over \sqrt{R^2 + \left( \omega L - {1 \over {\omega C}} \right)^2} \right)^2 \omega L={2 \pi f L U^2 \over {R^2 + \left( 2 \pi f L - {1 \over {2 \pi f C}} \right)^2}}$$
   • kapacitivna jalova (reaktivna) snaga:$$Q_\text{C} \left( f \right)={I^2 X_\text{C}}=\left( U \over \sqrt{R^2 + \left( \omega L - {1 \over {\omega C}} \right)^2} \right)^2 {1 \over {\omega C}}={U^2 \over {2 \pi f C \left( R^2 + \left( 2 \pi f L - {1 \over {2 \pi f C}} \right)^2 \right)}}$$
   • ukupna jalova (reaktivna) snaga (na grafu je prikazana njena apsolutna vrijednost):$$Q \left( f \right)=Q_\text{L} \left( f \right) - Q_\text{C} \left( f \right)$$
10. Konačno, treba naglasiti da otpor $R$ ima poseban utjecaj na oblik svih opisanih krivulja!

Kalkulator za serijski RLC krug

Program analizira serijski $RLC$ spoj priključen na izvor sinusnog napona. Zadajte efektivni napon izvora $U$, otpor $R$, induktivitet $L$, kapacitet $C$ i frekvenciju $f$ te kliknite na gumb Riješi problem.