Analiziramo frekvencijske ovisnosti (karakteristike) za serijski $RC$ krug. U početku je $R = 2400 \text{ } \Omega$ i $C = 22 \text{ nF}$. Sinusni napon na koji je priključen spoj ima efektivnu vrijednost $U = 6 \text{ V}$, a raspon frekvencija je od $0$ do $20 \text{ kHz}$. U elektrotehničkom laboratoriju ćete realizirati isti pokus i snimiti ovisnost napona i struje izvora o frekvenciji. Na slici je prikazana osnovna shema spoja. U pravom pokusu nam je potreban odgovarajući izvor promjenjive frekvencije (funkcijski generator).

Program nam omogućava izvođenje virtualnog pokusa. Pomoću kliznika možete mijenjati parametre kruga (iznose $R$, $C$) i istovremeno promatrati utjecaj na oblik funkcija napona, struje, impedancije, faznog kuta i snaga (birate grafove klikom na odgovarajuće tipke). Za fazni kut je zanimljiv oblik funkcije kada se frekvencija $f$ povećava. Kada frekvencija postane dovoljno velika fazni kut teži prema $0°$ i krug sve više gubi kapacitivni karakter ($X_\text{C}={1 \over {2 \pi f C}}$ teži prema nuli)!

Još ćemo detaljnije opisati oblike prikazanih funkcija:

1. Napon na kondenzatoru $C$ ima maksimum (jednak naponu izvora $U$) na frekvenciji $f=0 \text{ Hz}$, a na visokim frekvencijama napon $U_\text{C}$ teži prema nuli (klikni za izvod funkcije napona na kondenzatoru)
   $$U_\text{C} \left( f \right) = |\dot{U}_\text{C}| = |\text{-j} X_\text{C} \dot{I}| = {{1 \over {\omega C}}} {U \over \sqrt{R^2 + \left( {1 \over {\omega C}} \right)^2}} = {{U} \over {2 \pi f C \sqrt{R^2 + \left( {1 \over {2 \pi f C}} \right)^2}}}$$
2. Napon na otporniku $R$ ima maksimum (jednak naponu izvora $U$) kada frekvencija raste prema $f=\infty$, a na niskim frekvencijama napon $U_\text{R}$ teži prema nuli (klikni za izvod funkcije napona na otporniku)
   $$U_\text{R} \left( f \right) = |\dot{U}_\text{R}| = |R \dot{I}| = {R} {U \over \sqrt{R^2 + \left( {1 \over {\omega C}} \right)^2}} = {{U R} \over {\sqrt{R^2 + \left( {1 \over {2 \pi f C}} \right)^2}}}$$
3. Struja ima maksimum $I_\text{maks} = {U \over R}$ kada frekvencija teži prema $f=\infty$. Važna je frekvencija na kojima se struja u krugu (ili napon na otporniku) smanji s maksimuma za $\sqrt{2}$ puta — tada se radna snaga smanji za 2 puta. To je granična frekvencija $f_\text{g}$! Fazni kut je na graničnoj frekvenciji $-45°$ (jer onda vrijedi $\underline{Z} = {R - \text{j}X_\text{C}} = {R - \text{j}R}$) (klikni za izvod funkcije struje)
   $$I \left( f \right) = |\dot{I}| = \left| {\dot{U} \over \underline{Z}} \right| = {U \over \sqrt{R^2 + \left( {1 \over {\omega C}} \right)^2}} = {U \over \sqrt{R^2 + \left( {1 \over {2 \pi f C}} \right)^2}}$$
4. Modul impedancije $\underline{Z}$ ima minimalnu vrijednost kada frekvencija teži prema $f=\infty$, jer onda vrijedi $X_\text{C} = 0 \text{ } \Omega$ pa je $Z_\text{ min}=R$! A na graničnoj frekvenciji je $Z=\left| R - \text{j}R \right|=R\sqrt{2}$ (klikni za izvod funkcije impedancije)
   $$Z \left( f \right) = |\underline{Z}| = \sqrt{R^2 + \left( {1 \over {\omega C}} \right)^2} = \sqrt{R^2 + \left( {1 \over {2 \pi f C}} \right)^2}$$
5. Krivulja promjene faznog kuta $\varphi$ serijskog $RC$ spoja se mijenja od $-90°$ do $0°$ kako frekvencija raste. Ponavljamo, na graničnoj frekvenciji je fazni kut serijskog $RC$ spoja jednak $-45°$ ili $-{\pi \over 4} \text{ rad}$ (klikni za izvod funkcije faznog kuta)
   $$\varphi \left( f\right) = \arctan {{\text{Im} \underline{Z}} \over {\text{Re} \underline{Z}}} = \arctan {{- X_\text{C}} \over {R}} = \arctan {{-{1 \over {\omega C}}} \over {R}} = \arctan \left( {-{1 \over {\omega R C}}} \right) = \arctan \left( {-{1 \over {2 \pi f R C}}} \right)$$
6. Kada frekvencija raste prema $f=\infty$ radna snaga će biti najveća, $P_\text{maks} = {U^2 \over R}$, a jalova snaga će biti minimalna, $Q_\text{min}=0 \text{ VAr}$. Inače za frekvencije manje od $f=\infty$ jalova snaga ima kapacitivni karakter. Jalova snaga ima maksimum kod granične frekvencije koji iznosi $Q_\text{maks} = {U^2 \over {2R}}$ (klikni za izvod funkcija snaga)
   • prividna snaga:$$S \left( f \right)={U I}={U^2 \over Z}={U^2 \over \sqrt{R^2 + \left( {1 \over {\omega C}} \right)^2}}={U^2 \over \sqrt{R^2 + \left( {1 \over {2 \pi f C}} \right)^2}}$$
   • radna snaga:$$P \left( f \right)={I^2 R}=\left( U \over \sqrt{R^2 + \left( {1 \over {\omega C}} \right)^2} \right)^2 R={R U^2 \over {R^2 + \left( {1 \over {2 \pi f C}} \right)^2}}$$
   • jalova (reaktivna) snaga ima kapacitivni karakter:$$Q \left( f \right)={I^2 X_\text{C}}=\left( U \over \sqrt{R^2 + \left( {1 \over {\omega C}} \right)^2} \right)^2 {1 \over {\omega C}}={U^2 \over {2 \pi f C \left( R^2 + \left( {1 \over {2 \pi f C}} \right)^2 \right)}}$$

Kalkulator za serijski RC krug

Program analizira serijski $RC$ spoj priključen na izvor sinusnog napona. Zadajte efektivni napon izvora $U$, otpor $R$, kapacitet $C$ i frekvenciju $f$ te kliknite na gumb Riješi problem.