 |
OSNOVE ELEKTROTEHNIKE INTERAKTIVNI NASTAVNI MATERIJALI animacije · pokusi · lab. vježbe · simulacije · test pitanja · zadaci |
| Izmjenični strujni krugovi · Načelo rješavanja izmjeničnih krugova |
| Poznato je da se krajem 19 st. vodila velika rasprava oko uvođenja izmjeničnih struja (velike zasluge Nikole Tesle), jer je proizvodnja električne energije započela primjenom kemijskih izvora koji imaju istosmjeran napon. Proračun strujnih krugova sa sinusoidnom pobudom je složeniji, jer su se morale rješavati diferencijalno—integralne jednadžbe. Zato su razvijane matematičke metode koje će olakšati taj izračun. Za jednostavnije spojeve elemenata $R$, $L$ i $C$ to je bila mogućnost prikazivanja sinusoidnih veličina vektorima. Veliki napredak postignut je primjenom kompleksnih brojeva, odnosno prebacivanjem postupka rješavanja u kompleksno područje. Pokazalo se je da se u tom području mogu (formalno) primjenjivati isti postupci kao oni za istosmjerne krugove koji su sastavljeni od otpornika i izvora, ali se umjesto običnih brojeva (skalara) koriste kompleksni brojevi. Postupak se sastoji od toga da se sinusoidne veličine prikažu fazorima, dok se induktivni i kapacitivni otpori prebace se u kompleksno područje kao nova vrsta otpora koji dobivaju obilježje kompleksnog broja. Tako induktivni otpor $X_\text{L}$ postaje $\text{j} X_\text{L}$,a kapacitivni otpor $X_\text{C}$ postaje $-\text{j} X_\text{C}$. Za imaginarnu jedinicu koristimo u elektrotehnici slovo $\text{j}$, jer je oznaka $i$ rezervirana za označavanje struje! Naravno, da bi mogli koristiti taj postupak rješavanja izmjeničnih krugova, potrebno je znati računske operacije s kompleksnim brojevima. Treba naglasiti da ovaj postupak vrijedi samo za stacionarno stanje, a složenije postupke rješavanja ćete raditi na višim godinama studija. |
|
|
|
Primjer Najbolje da to pogledamo na primjeru serijskog spoja $R = 10 \text{ } \Omega$, $L = 0.1 \text{ mH}$ i $C = 2 \text{ mF}$ koji je priključen na sinusni izvor $u \left( t \right) = 10 \sqrt{2} \sin{\left(100t + {\pi \over 2}\right)} \text{ V}$. Potrebno je izračunati struju izvora. Rješenje: Iz zadanog sinusne funkcije napona očitavamo amplitudu $U_\text{m} = 10 \sqrt{2} \text{ V}$, kružnu frekvenciju $\omega = 100 \text{ } {\text{rad} \over \text{s}}$ te početni kut napona izvora $\alpha_\text{U} = + {\pi \over 2} \text{ rad}$. Potom pronađemo efektivnu vrijednost napona izvora $U = {U_\text{m} \over \sqrt{2}} = 10 \text{ V}$. Još možemo izračunati induktivni otpor zavojnice $X_\text{L} = \omega L = 10 \text{ } \Omega$ i kapacitivni otpor kondenzatora $X_\text{C} = {1 \over {\omega C}} = 5 \text{ } \Omega$. 1. Prebacivanje u kompleksno područje: Pripremimo fazor napona izvora kao $\dot{U} = U \angle \alpha_\text{U} = 10 \angle +{\pi \over 2} \text{ V}$. Realni dio fazora napona je $10 \cos {\left( +{\pi \over 2} \right)} = 0$, a imaginarni dio $10 \sin {\left( +{\pi \over 2} \right)} = 10$ pa fazor napona izvora možemo zapisati u algebarskom obliku kao: $$\dot{U} = \text{j} 10 \text{ V}$$ Pripremimo i kompleksne impedancije zavojnice $\underline{X}_\text{ L}$ i kondenzatora $\underline{X}_\text{ C}$ kao: $$\underline{X}_\text{ L} = + \text{j} X_\text{L} = + \text{j} 10 \text{ } \Omega$$ $$\underline{X}_\text{ C} = - \text{j} X_\text{C} = - \text{j} 5 \text{ } \Omega$$ 2. Računanje u kompleksnom području: Tražimo ukupnu kompleksnu impedanciju $\underline{Z}$ ovog serijskog spoja. Postupamo prema pravilu za ukupan otpor serije (zbrajamo otpore kao kod istosmjernih krugova): $$\underline{Z} = R + \underline{X}_\text{ L} + \underline{X}_\text{ C} = 10 + \text{j}10 - \text{j}5 = 10 + \text{j}5 \text{ } \Omega$$ Iznos ukupne kompleksne impedancije je: $$Z = \left| \underline{Z} \right| = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \text{ } \Omega$$ A kut ukupne impedancije (fazni kut spoja) je: $$\varphi = \arctan {{\text{Im} \underline{Z}} \over {\text{Re} \underline{Z}}} = \arctan {5 \over 10} \approx +0.464 \text{ rad}$$ Možemo izračunati i ukupnu admitanciju spoja kao $\underline{Y} = {1 \over \underline{Z}} = 0.08 - \text{j}0.04 \text{ S}$. Vidimo da je iznos kompleksne admitancije jednak $Y = {1 \over Z} = {1 \over {5 \sqrt{5}}} \text{ S}$, a kut $\psi = - \varphi \approx -0.464 \text{ rad}$. Sada preko Ohmovog zakona izračunamo fazor ukupne struje u krugu (struje izvora) $\dot{I}$: $$\dot{I} = {\dot{U} \over \underline{Z}} = {{10 \angle {\pi \over 2}} \over {5 \sqrt{5} \angle {0.464}}} = {2 \over \sqrt{5}} \angle {1.107} = 0.4 + \text{j}0.8 \text{ A}$$ Efektivna vrijednost fazora struje je jednaka modulu (iznosu): $$I = \left| \dot{I} \right| = {2 \over \sqrt{5}} \approx 0.894 \text{ A}$$ Kut fazora struje izvora (početni kut struje izvora) je: $$\alpha_\text{I} = \arctan {0.8 \over 0.4} \approx +1.107 \text{ rad}$$ 3. Vraćanje u realno područje: Već znamo kružnu frekvenciju $\omega$, a gore smo izračunali efektivnu vrijednost struje $I$ i njen početni kut $\alpha_\text{I}$. Onda možemo vratiti fazor struje natrag u sinusnu funkciju. Treba nam samo amplituda struje koju računamo kao $I_\text{m} = I\sqrt{2} = {{2\sqrt{2}} \over \sqrt{5}} \text{ A} \approx 1.265 \text{ A}$: $$\begin{align}i \left( t \right) &= I_\text{m} \sin {\left( \omega t + \alpha_\text{I} \right)}\\i \left( t \right) &= 1.265 \sin {\left( 100 t + 1.107 \right)} \text{ A}\end{align}$$ Možemo na kraju i skicirati sinusne funkcije napona izvora i struje izvora. Vidimo da sinusoida napona prethodi za $\alpha_\text{U} - \alpha_\text{I} \approx 0.464 \text{ rad} \approx 26.565°$ (to je fazni kut spoja $\varphi$). Zaključujemo da se radi o induktivnom spoju (pozitivan $\varphi$, napon izvora prethodi struji izvora) jer u ovom slučaju prevladava utjecaj zavojnice $\left( X_\text{L} > X_\text{C} \right)$! Mogu nas zanimati i trenutne vrijednosti napona ili struje u nekom trenutku $t$. Npr. u našem slučaju u trenutku $t = 55 \text{ ms} = 0.055 \text{ s}$ naznačenom na grafu struja izvora i napon izvora su: $$i \left( 0.055 \text{ s} \right) = 1.265 \sin {\left( 100 \cdot 0.055 + 1.107 \right)} \approx +0.403 \text{ A}$$ $$u \left( 0.055 \text{ s} \right) = 10 \sqrt{2} \sin {\left( 100 \cdot 0.055 + {\pi \over 2} \right)} \approx +10.022 \text{ V}$$ |
Nekoliko korisnih napomena:
|