Razmatramo složeniji paralelni spoj serijskog $RL$ spoja (induktivna grana) i serijskog $RC$ spoja (kapacitivna grana). Paralelni spoj je priključen na sinusni izvor $\dot{U} = 1 \angle 0° \text{ V}$. Možete mijenjati radne otpore induktivne grane $R_\text{L}$ i kapacitivne grane $R_\text{C}$ od $0 \, \Omega$ do $4 \, \Omega$ te namještati kružnu frekvenciju sinusnog izvora $\omega$ od $0 \text{ s}^{-1}$ do $1000 \text{ s}^{-1}$. Pritom se iscrtavaju u kompleksnoj $Y$-ravnini mjesni dijagrami admitancija induktivne grane $\underline{Y}_\text{L}$, kapacitivne grane $\underline{Y}_\text{C}$ i ukupne admitancije paralele $\underline{Y}_\text{LC}$. Ukupna admitancija ovoga spoja je: $$\underline{Y}_\text{LC} = \underline{Y}_\text{L} + \underline{Y}_\text{C} = \frac{1}{R_\text{L} + \text{j}X_\text{L}} + \frac{1}{R_\text{C} - \text{j}X_\text{C}} = \frac{R_\text{L} - \text{j}X_\text{L}}{{R_\text{L}}^2 + {X_\text{L}}^2} + \frac{R_\text{C} + \text{j}X_\text{C}}{{R_\text{C}}^2 + {X_\text{C}}^2} = \\[1em] = \left( \frac{R_\text{L}}{{R_\text{L}}^2 + {X_\text{L}}^2} + \frac{R_\text{C}}{{R_\text{C}}^2 + {X_\text{C}}^2} \right) + \text{j} \left( \frac{X_\text{C}}{{R_\text{C}}^2 + {X_\text{C}}^2} - \frac{X_\text{L}}{{R_\text{L}}^2 + {X_\text{L}}^2} \right)$$

Zapazite kako u ovome složenijem krugu mjesni dijagram ukupne admitancije paralele $\underline{Y}_\text{LC}$ ne opisuje kružnicu! Nadalje, sjetite se da iz $\dot{I} = \dot{U} \cdot \underline{Y}_\text{LC}$ možemo dobiti i mjesni dijagram struje izvora $\dot{I}$. Ovdje mjesni dijagram struje izvora odgovara mjesnom dijagramu ukupne admitancije, a u kompleksnoj ravnini samo treba zamijeniti jedinicu $\text{S}$ u $\text{A}$.

Opisani spoj može imati rezonantnu frekvenciju na kojoj će ukupna struja biti u fazi s naponom izvora. Pri rezonantnoj frekvenciji je imaginarni dio ukupne admitancije (kao i impedancije) jednak nuli, a reaktivna induktivna snaga $Q_\text{L}$ jednaka je po iznosu kapacitivnoj snazi $Q_\text{C}$ tako da je ukupna reaktivna snaga spoja nula. Za vježbu izvedite iz uvjeta za rezonanciju $\text{Im}\{ \underline{Y}_\text{LC} \} = 0$ izraz za rezonantnu frekvenciju opisanog spoja: $$\omega_\text{rez} = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}} \cdot \sqrt{ \frac{{R_\text{L}}^2 - \frac{L}{C}}{{R_\text{C}}^2 - \frac{L}{C}} }$$ Analizom ove jednadžbe dobiju se uvjeti za odnos parametara kruga koji moraju biti zadovoljeni da bi rezonantna frekvencija bila moguća. Valja uočiti da u jednadžbi imamo umnožak rezonantne frekvencije običnog paralelnog $LC$ kruga $\left( \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}} \right)$ i dodatnog faktora (veliki korijen), koji mora biti pozitivan da bi postojala rezonantna frekvencija. Osobito je zanimljiv slučaj kada vrijedi $R_\text{L} = R_\text{C} = \sqrt{ \frac{L}{C}}$, jer tada pod velikim korijenom dobivamo nedefiniranu vrijednost $\frac{0}{0}$. U tom slučaju krug rezonira na svim frekvencijama, odnosno struja izvora je uvijek u fazi s naponom izvora. Za vježbu pokažite da je pritom ukupna admitancija na svim frekvencijama $\underline{Y}_\text{LC} = \sqrt{ \frac{C}{L} }$. Kako se iznos admitancije ne mijenja tako će i struja izvora pri svim frekvencijama ostati ista. Nadalje, induktivne i kapacitivne reaktivne snage su u tom slučaju na svim frekvencijama po iznosu jednake! Ovakav slučaj rezonancije ima poseban naziv: otpornička rezonancija. U prikazanom spoju bi vrijednosti $R_\text{L}$ i $R_\text{C}$ trebalo namjestiti na približno $3.16 \, \Omega$. Kliknite ovdje i provjerite u interaktivnom pokusu ponašanje kruga na raznim frekvencijama u slučaju otporničke rezonancije.

Napomene:

• u elektrotehnici često pod pojmom frekvencija podrazumijevamo kružnu frekvenciju $\omega$, jer se tako pojednostavne jednadžbe, a običnu frekvenciju $f$ lako dobijemo preko $f = \frac{\omega}{2 \pi}$
• u stvarnosti je otpor $R_\text{C}$ kapacitivne grane zanemariv dok kod induktivne grane $R_\text{L}$ može biti otpor namotaja
• korisno je sve dobivene dijagrame dokumentirati i na njima upisati karakteristične vrijednosti (npr. smjer kretanja kod porasta frekvencije, oznake početnih točaka i sl.)