Zvijezda ↔ trokut (AC)

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE
INTERAKTIVNI NASTAVNI MATERIJALI

animacije · pokusi · lab. vježbe · simulacije · test pitanja · zadaci

Izmjenični strujni krugovi · Pretvorba zvijezda ↔ trokut

Prilikom rješavanja zadataka nekada ne možemo pojednostavniti krug bez primjene pretvorbe (transformacije) elemenata spojenih u zvijezdu u ekvivalentni spoj u trokut i obratno (Slika $1$). Time ne mijenjamo uvjete u električnom krugu (ukupna impedancija, struja izvora te potencijali točaka ostaju isti), ali olakšamo rješavanje zadatka jer dalje možemo pojednostavniti krug korištenjem formula za seriju i/ili paralelu elemenata.

Formule za pretvorbu impedancija u izmjeničnim krugovima su analogne onima koje koristimo za pretvorbu otpornika u istosmjernim krugovima (pogledajte ovdje), samo je ovdje račun složeniji zbog kompleksnih brojeva.

Na Slici $1$ je kao primjer izdvojen zvijezda spoj iz neke složenije el. mreže. Povlačenjem preklopke dobijete transformirani ekvivalentni trokut spoj, a da su pritom točke $1$, $2$ i $3$ ostale na istom potencijalu! Obratite pozornost na zajedničku točku $0$ (zvjezdište) po kojoj ćete lako prepoznati da se radi o zvijezda spoju. Vodite računa da su u zadatku koji rješavate moguće i drugačije oznake točaka (npr. $\text{N}$, $\text{R}$, $\text{S}$ i $\text{T}$ kod trofaznih mreža).

Slika $1$

formule za pretvorbu: ZVIJEZDA $\longrightarrow$ TROKUT

$$\begin{align} \underline{Z}_\text{ 12} &= {{\underline{Z}_\text{ 1} \cdot \underline{Z}_\text{ 2}} \over \underline{Z}_\text{ Y}} \\[10pt] \underline{Z}_\text{ 23} &= {{\underline{Z}_\text{ 2} \cdot \underline{Z}_\text{ 3}} \over \underline{Z}_\text{ Y}} \\[10pt] \underline{Z}_\text{ 31} &= {{\underline{Z}_\text{ 3} \cdot \underline{Z}_\text{ 1}} \over \underline{Z}_\text{ Y}} \end{align}$$

impedanciju zvijezde $\underline{Z}_\text{ Y}$ računamo ovako: $$\underline{Y}_\text{ Y} = {1 \over \underline{Z}_\text{ 1}} + {1 \over \underline{Z}_\text{ 2}} + {1 \over \underline{Z}_\text{ 3}} \,\,\, \longrightarrow \,\,\, \underline{Z}_\text{ Y} = {1 \over \underline{Y}_\text{ Y}}$$

formule za pretvorbu: TROKUT $\longrightarrow$ ZVIJEZDA

$$\begin{align} \underline{Z}_\text{ 1} &= {{\underline{Z}_\text{ 12} \cdot \underline{Z}_\text{ 31}} \over \underline{Z}_{\text{ } \Delta}} \\[10pt] \underline{Z}_\text{ 2} &= {{\underline{Z}_\text{ 12} \cdot \underline{Z}_\text{ 23}} \over \underline{Z}_{\text{ } \Delta}} \\[10pt] \underline{Z}_\text{ 3} &= {{\underline{Z}_\text{ 23} \cdot \underline{Z}_\text{ 31}} \over \underline{Z}_{\text{ } \Delta}} \end{align}$$

impedanciju trokuta $\underline{Z}_{\text{ } \Delta}$ računamo ovako: $$\underline{Z}_{\text{ } \Delta} = \underline{Z}_\text{ 12} + \underline{Z}_\text{ 23} + \underline{Z}_\text{ 31}$$

Za savjet kako upamtiti navedene formule kliknite ovdje...
Kliknite ovdje za pokretanje simulacije koje pokazuje da je ukupna struja u krugu i prije i nakon transformacije zvijezda $\longleftrightarrow$ trokut ista!
- početni krug (mosni spoj spojen na sinusni izvor efektivnog napona $220 \text{ V}$, frekvencije $50 \text{ Hz}$) transformiran je na sva četiri moguća načina:
  1. lijevi trokut $10-50-40 \text{ } \Omega$ u zvijezdu $4-5-20 \text{ } \Omega$
  2. desni trokut $30-50-20 \text{ } \Omega$ u zvijezdu $15-10-6 \text{ } \Omega$
  3. gornja zvijezda $10-50-30 \text{ } \Omega$ u trokut $46-76.667-230 \text{ } \Omega$
  4. donja zvijezda $50-40-20 \text{ } \Omega$ u trokut $190-95-76 \text{ } \Omega$
- nakon transformacije smo dobili mješoviti spoj otpornika koji potom možemo postupno pojednostavniti...
- u sva četiri slučaja trenutna vrijednost struje je jednaka — provjerite tako da zaustavite simulaciju klikom na RUN/Stop
- sami probajte ispitati potencijale točaka (npr. s desnim klikom miša odaberite iz izbornika Outputs and Labels pa Add Test Point, a potom klikom i povlačenjem iz nekog čvora u krugu dodajete testnu točku na kojoj možete očitati trenutni napon)
- desnim klikom na elemente kruga otvara se izbornik iz kojeg možete izabrati View in Scope (osciloskop) — čime dobijete graf sinusne funkcije napona i/ili struje (desnim klikom na graf otvara se niz opcija, npr. Show RMS Average daje efektivnu vrijednost napona/struje)
- Info: u ovom primjeru koristimo jednostavni online simulator električnih krugova © Circuit Simulator
Podsjetnik: umjesto pretvorbe zvijezda $\longleftrightarrow$ trokut možete direktno primijeniti Kirchhoffove zakone — pripremiti i riješiti sustav jednadžbi prema KZS i KZN. Na ispitima ipak uvijek pokušajte prvo pojednostavniti zadani el. krug, jer je već i sustav s četiri jednadžbe i četiri nepoznanice zahtjevan za efikasno rješavanje na papiru...

Kao pomoć nudimo vam kalkulator za pretvorbu impedancija iz zvijezde u trokut i obratno. Potrebno je upisati impedancije zadanog spoja i kliknuti na IZRAČUNAJ. Ako upišete samo realne dijelove impedancija kalkulator možete koristiti i za rješavanje el. krugova s otpornicima. Za imaginarni dio impedancije stavite minus u slučaju kapacitivnog karaktera.

Kalkulator za pretvorbu ZVIJEZDA $\longrightarrow$ TROKUT:

ZVIJEZDA

algebarski oblik polarni oblik

$\text{Re} \left\{ \underline{Z}_\text{ 1} \right\} = $$\text{ } \Omega$$\text{Im} \left\{ \underline{Z}_\text{ 1} \right\} = $$\text{ } \Omega$

$\text{Re} \left\{ \underline{Z}_\text{ 2} \right\} = $$\text{ } \Omega$$\text{Im} \left\{ \underline{Z}_\text{ 2} \right\} = $$\text{ } \Omega$

$\text{Re} \left\{ \underline{Z}_\text{ 3} \right\} = $$\text{ } \Omega$$\text{Im} \left\{ \underline{Z}_\text{ 3} \right\} = $$\text{ } \Omega$

EKVIVALENTNI TROKUT

algebarski oblik polarni oblik

$$\begin{align}\underline{Z}_\text{ 12} &= 30 + \text{j} 0 \text{ } \Omega \\[10pt] \underline{Z}_\text{ 23} &= 30 + \text{j} 0 \text{ } \Omega \\[10pt] \underline{Z}_\text{ 31} &= 30 + \text{j} 0 \text{ } \Omega \end{align}$$

Kalkulator za pretvorbu TROKUT $\longrightarrow$ ZVIJEZDA:

TROKUT

algebarski oblik polarni oblik

$\text{Re} \left\{ \underline{Z}_\text{ 12} \right\} = $$\text{ } \Omega$$\text{Im} \left\{ \underline{Z}_\text{ 12} \right\} = $$\text{ } \Omega$

$\text{Re} \left\{ \underline{Z}_\text{ 23} \right\} = $$\text{ } \Omega$$\text{Im} \left\{ \underline{Z}_\text{ 23} \right\} = $$\text{ } \Omega$

$\text{Re} \left\{ \underline{Z}_\text{ 31} \right\} = $$\text{ } \Omega$$\text{Im} \left\{ \underline{Z}_\text{ 31} \right\} = $$\text{ } \Omega$

EKVIVALENTNA ZVIJEZDA

algebarski oblik polarni oblik

$$\begin{align}\underline{Z}_\text{ 1} &= 10 + \text{j} 0 \text{ } \Omega \\[10pt] \underline{Z}_\text{ 2} &= 10 + \text{j} 0 \text{ } \Omega \\[10pt] \underline{Z}_\text{ 3} &= 10 + \text{j} 0 \text{ } \Omega \end{align}$$

Napomena: može se dogoditi da realni dio (otpor) u transformiranom spoju bude negativan. U tom slučaju je transformirani spoj samo računska veličina, tj. nije ga moguće realizirati u praksi.