$$\dot{I} = {\dot{U} \over {\underline{Z}_\text{ i} + \underline{Z}_\text{ t}}} = {\dot{U} \over { R_\text{i} + \text{j} X_\text{i} + R_\text{t} + \text{j} X_\text{t}}} = {\dot{U} \over { \left( R_\text{i} + R_\text{t} \right) + \text{j} \left( X_\text{i} + X_\text{t} \right)}}$$ $$I = {U \over \sqrt{ \left( R_\text{i} + R_\text{t} \right)^2 + \left( X_\text{i} + X_\text{t} \right)^2}}$$ Radnu snagu na trošilu možemo promatrati (matematički) kao funkciju dviju varijabli $P \left( R_\text{t} , X_\text{t} \right)$: $$P \left( R_\text{t} , X_\text{t}\right) = {I^2 \cdot R_\text{t}} = {U^2 \over { \left( R_\text{i} + R_\text{t} \right)^2 + \left( X_\text{i} + X_\text{t} \right)^2}} \cdot {R_\text{t}}$$ Namjestimo li trošilo na $\underline{Z}_\text{ t} = \underline{Z}^{*}_\text{ t}$, odnosno $X_\text{t} = -X_\text{i}$ i $R_\text{t} = R_\text{i}$ funkcija $P \left( R_\text{t} , X_\text{t}\right)$ će dosegnuti maksimum: $$P_\text{maks} = {U^2 \over {4 R_\text{t}}}$$ Pažljivi čitatelj će primijetiti da su ovdje moguće razne kombinacije parametara i s tim u vezi su mogući razni grafovi funkcija snage (radne i reaktivne) u ovisnosti o $R_\text{t}$ odnosno $X_\text{t}$. Naravno, tu se onda pojavljuju i odgovarajuće najveće vrijednosti snaga. Za vježbu iz matematike probajte izvesti uvjete za maksimum snage!

Obično se izdvajaju tri karakteristična slučaja u kojima promatramo samo radnu snagu trošila.

1. Trošilu mijenjamo i reaktivni i omski otpor. Pokazuje se da u ovom slučaju za postizanje maksimuma radne snage treba trošilo podesiti tako da vrijedi $\underline{Z}_\text{ t} = \underline{Z}^{*}_\text{ t}$ (dolazi do serijske rezonancije, $X_\text{t}$ i $X_\text{i}$ se ponište pa je reaktivna komponenta ukupne impedancije jednaka nuli), dakle treba namjestiti: $$R_\text{t}=R_\text{i} \,\,\,\,\, \text{&} \,\,\,\,\, X_\text{t}=-X_\text{i}$$
2. Reaktivni otpor trošila je stalan, a možemo mijenjati samo omski otpor. Za dobivanje najveće snage treba namjestiti: $$R_\text{t} = \sqrt{R^2_\text{i} + \left( X_\text{i} + X_\text{t} \right)^2}$$
3. Reaktivni otpor trošila je nula, a možemo mijenjati omski otpor. Najveću snagu dobivamo uz: $$R_\text{t} = \sqrt{R^2_\text{i} + X^2_\text{i}} \,\,\,\,\, \rightarrow \,\,\,\,\, R_\text{t} = Z_\text{i}$$

Virtualni pokusi:

POKUS 1. Kliknite ovdje za početak! Sada je $X_\text{t} = 0 \text{ } \Omega$, a $R_\text{t} = 1.5 \text{ } \Omega$. Omski otpor neka bude stalan, a mijenjajte samo reaktivni otpor $X_\text{t}$. Nađite reaktivni otpor uz koji će radna snaga trošila biti najveća (prikaži pomoć).

POKUS 2. Kliknite ovdje za početak! Sada je $X_\text{t} = -3 \text{ } \Omega$, a $R_\text{t} = 0.5 \text{ } \Omega$. Reaktivni otpor neka bude stalan, a mijenjajte samo omski otpor $R_\text{t}$. Nađite omski otpor uz koji će radna snaga trošila biti najveća! Kolika je ta snaga? Da li sada možete odrediti nepoznatu unutarnju impedanciju izvora $\underline{Z}_\text{ i}$? (prikaži pomoć).

POKUS 3. Kliknite ovdje za početak! Sada je $X_\text{t} = 1 \text{ } \Omega$, a $R_\text{t} = 0.5 \text{ } \Omega$. Reaktivni otpor neka bude stalan, a mijenjajte samo omski otpor $R_\text{t}$. Nađite omski otpor uz koji će radna snaga trošila biti najveća! Da li tada stvarno vrijedi $R_\text{t} = \sqrt{ R^2_\text{i} + \left( X_\text{i} + X_\text{t} \right)^2}$? Ako postavite $X_\text{t} = 0 \text{ } \Omega$ da li se maksimum radne snage na trošilu postiže uz $R_\text{t} = \sqrt{ R^2_\text{i} + X^2_\text{i}}$, odnosno $R_\text{t} = Z_\text{i}$? (prikaži pomoć).

• primijetite da je najveća snaga dobivena u pokusu 2 koji odgovara slučaju $\text{A}$ — taj maksimum snage možemo označiti kao maksimum maksimuma: $P_\text{maks-maks}$ (tada se ista radna snaga razvija i na trošilu i na unutrašnjem otporu izvora!)

Zainteresirani čitatelj može u nastavku pogledati grafove radne snage na trošilu $\underline{Z}_\text{ t}$ spojenom na $\dot{U} = 12 \angle 0° \text{ V}$ za raspon $R_\text{t} = 0 - 15 \text{ } \Omega$ u četiri slučaja:

1. Crveni graf gdje je $X_\text{t} = -3 \text{ } \Omega$. Maksimum $\left( 9 \text{ W} \right)$ nastupa kod $R_\text{t} = 4 \text{ } \Omega$!
2. Plavi graf gdje je $X_\text{t} = 0 \text{ } \Omega$. Maksimum $\left( 8 \text{ W} \right)$ nastupa kod $R_\text{t} = 5 \text{ } \Omega$!
3. Smeđi graf gdje je $X_\text{t} = 1 \text{ } \Omega$. Maksimum $\left( 7.456 \text{ W} \right)$ nastupa kod $R_\text{t} = 5.657 \text{ } \Omega$!
4. Roza graf gdje je $X_\text{t} = 0 \text{ } \Omega$ uz otpor voda $R_\text{v} = 2 \text{ } \Omega$ (kao da je $R_\text{i}$ povećan na $6 \text{ } \Omega$). Blagi maksimum $\left( 5.666 \text{ W} \right)$ nastupa kod $R_\text{t} = 6.708 \text{ } \Omega$!

Na prvom grafu (usporedi s pokusom 2) imamo najveći maksimum $P_\text{maks-maks} = 9 \text{ W}$ (matematičar će primijetiti da je to ustvari maksimum plohe)!