Mješoviti spojevi RLC

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE
INTERAKTIVNI NASTAVNI MATERIJALI

animacije · pokusi · lab. vježbe · simulacije · test pitanja · zadaci

Izmjenični strujni krugovi · Mješoviti spojevi elemenata R, L i C

Ovdje razmatramo priključak mješovitog $RLC$ spoja na sinusni naponski izvor. Početno je zadana serija otpornika $R_1$, zavojnice $X_\text{L2}$ i paralele kondenzatora $X_\text{C3}$ i otpornika $R_4$. Možete sami zadavati i druge kombinacije ili samo kliknite na tipku "Zadaj novi krug!" kako bi dobili nasumično generirani strujni krug. U krugu su nam poznati omski otpori svih elemenata kao i struja kroz ampermetar, a program potom postupno nacrta fazorski dijagram spoja i odredi sve nepoznate veličine u krugu. Kao referentnu veličinu uzimamo poznatu struju ampermetra — fazor struje $\dot{I}_\text{y}$ proizvoljno crtamo pod $0°$. Uz svaku traženu veličinu imate ponuđenu i tipku za pomoć ("?") kao i tipku ("!") za izračun tog fazora ili impedancije. Na kraju možete provjeriti i prikaz zbroja fazora struja i napona prema Kirchhoffovim zakonima.

Važno je dobro uvježbati crtanje fazorskih (vektorskih) dijagrama, a zato vam može pripomoći ovaj program — sami zadajte problem, riješite ga "na papiru" i na kraju provjerite svoja rješenja!

Treba naglasiti da se proračun i analiza odnosi na stacionarno (ustaljeno stanje) koje obično nastupa vrlo brzo nakon trenutka uključenja spoja elemenata na izvor. Zbog jednostavnosti možete postavljati iznose induktivnog $X_\text{L} = \omega L$ i kapacitivnog $X_\text{C} = {1 \over {\omega C}}$ otpora umjesto induktiviteta $L$ ili kapaciteta $C$.

zadajte parametre kruga:

1. $R_1=$

2. $X_\text{L2}=$

3. $X_\text{C3}=$

4. $R_4=$

očitanje ampermetra:

FAZORSKI DIJAGRAM

rezultati:

$\dot{I}_\text{y} = \text{... } \angle \text{ ...}° \text{ A}$!?

$\dot{U}_4 = \text{... } \angle \text{ ...}° \text{ V}$!?

$\dot{I}_\text{x} = \text{ ...} \angle \text{...}° \text{ A}$!?

$\dot{I} = \text{... } \angle \text{ ...}° \text{ A}$!?

$\dot{U}_2 = \text{... } \angle \text{ ...}° \text{ V}$!?

$\dot{U}_1 = \text{... } \angle \text{ ...}° \text{ V}$!?

$\dot{U} = \text{... } \angle \text{ ...}° \text{ V}$!?

$\underline{Z} = \text{... } \angle \text{ ...}° \text{ } \Omega$!?

Mjerila napona i struje će se automatski prilagoditi trenutnim fazorima (na početku je postavljeno $7.5 \text{ V} / \text{div}$ i $0.25 \text{ A} / \text{div}$). Ponovimo i važne napomene kod crtanja fazorskih (ili vektorskih) dijagrama:

napon i struja na otporniku su u fazi
na induktivitetu napon fazno prethodi struji za $90°$
na kapacitetu napon fazno zaostaje iza struje za $90°$

Jedna veličina kod fazorskog/vektorskog prikaza mora biti referentna (početna). Ovdje je to fazor struje kroz ampermetar $\dot{I}_\text{y}$ za koju odaberemo fazni kut nula (fazor leži na realnoj osi, odnosno vektor leži u osi $x$). Promjena početnog faznog kuta tog fazora značila bi zakretanje čitavog sustava fazora/vektora. Fazni kut spoja $\varphi$ je kut ukupne impedancije $\underline{Z}$ i definiran je kao razlika početnog faznog kuta napona izvora i početnog faznog kuta struje izvora (iz Ohmovog zakona): $$\varphi = \alpha_\text{U} - \alpha_\text{I}$$

Ako je fazni kut spoja pozitivan krug je induktivan, a kada je fazni kut spoja negativan onda je krug kapacitivan. Kutevi od pozitivne osi $x$ u smjeru kretanja kazaljke na satu su negativni, a oni u obrnutom smjeru su pozitivni.

Duljina fazora je jednaka efektivnoj vrijednosti, a kut fazora odgovara početnom faznom kutu odgovarajuće sinusne veličine. Dakle, iz fazorskog dijagrama se lako dobije vektorski dijagram efektivnih veličina — samo gledamo fazore u kompleksnoj ravnini kao vektore u $xy$ koordinatnom sustavu. U pravom vektorskom dijagramu je duljina vektora jednaka amplitudi odgovarajuće sinusne veličine pa bi vektore efektivnih vrijednosti trebalo još produžiti za faktor $\sqrt{2}$!

Program prikazuje i fazorski/vektorski zbroj struja i/ili napona.

Kod paralelnih spojeva sjetite se pojma admitancije $\underline{Y}$. Npr. admitancija paralele $\underline{Z}_\text{ 1} || \underline{Z}_\text{ 2}$ je: $$\underline{Y} = {{1 \over \underline{Z}_\text{ 1}}+{1 \over \underline{Z}_\text{ 2}}}$$ Potom izračunamo odgovarajuću ukupnu impedanciju kao: $$\underline{Z} = {1 \over \underline{Y}}$$ Iz ovoga vidimo da fazni kut $\psi$ admitancije $\underline{Y}$ ima suprotni predznak od faznog kuta $\varphi$ impedancije $\underline{Z}$!

VAŽNO — još nekoliko korisnih napomena:

Ovdje napon izvora nije bio poznat, ali smo ga ipak odredili "unatrag" polazeći od struje ampermetra $\dot{I}_\text{y}$. A nakon što utvrdimo napon izvora $U$ uz zadanu struju $I_\text{y}$, možemo temeljem proporcionalnosti odrediti napone i struje za bilo koji napon izvora.
Npr. ako je uz $I_\text{y}=2 \text{ A}$ napon izvora $U=58.31 \text{ V}$, onda bi uz napon izvora od $75 \text{ V}$ struja $I_\text{y}$ bila ${2 \cdot {75 \over 58.31}} = 2.572 \text{ A}$.
Paralelni $RC$ $\left( RL \right)$ spoj možemo zamijeniti serijskim $RC$ $\left( RL \right)$ spojem (kao i obrnuto) koji ima isti $Z$ i isti kut $\varphi$, odnosno isti $Y$ i isti kut $\psi$.

transformacija: paralela $\rightarrow$ serija

Raspišemo impedancije paralele $\underline{Z}_\text{ p}$ i serije $\underline{Z}_\text{ s}$ s gornje slike:
$$\underline{Z}_\text{ p} = {{R_\text{p} \left( - \text{j} X_\text{Cp} \right)} \over {R_\text{p} - \text{j} X_\text{Cp}}} = {{R_\text{p} X^2_\text{Cp} - \text{j} R^2_\text{p} X_\text{Cp}} \over {R^2_\text{p} + X^2_\text{Cp}}} = {{{R_\text{p} X^2_\text{Cp}} \over {R^2_\text{p} + X^2_\text{Cp}}} - \text{j} {{R^2_\text{p} X_\text{Cp}} \over {R^2_\text{p} + X^2_\text{Cp}}}}$$ $$\underline{Z}_\text{ s} = {R_\text{s} - \text{j} X_\text{Cs}}$$
Iz uvjeta $\underline{Z}_\text{ p} = \underline{Z}_\text{ s}$ dobijemo izraze za ekvivalentnu seriju $RC$:
$${R_\text{s} = {{R_\text{p} X^2_\text{Cp}} \over {R^2_\text{p} + X^2_\text{Cp}}}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, {X_\text{Cs} = {{R^2_\text{p} X_\text{Cp}} \over {R^2_\text{p} + X^2_\text{Cp}}}}$$
transformacija: serija $\rightarrow$ paralela

Raspišemo admitancije serije $\underline{Y}_\text{ s}$ i paralele $\underline{Y}_\text{ p}$ s gornje slike:
$$\underline{Y}_\text{ s} = {1 \over {R_\text{s} - \text{j} X_\text{Cs}}} = {{R_\text{s} + \text{j} X_\text{Cs}} \over {R^2_\text{s} + X^2_\text{Cs}}} = {{R_\text{s} \over {R^2_\text{s} + X^2_\text{Cs}}} + \text{j} {X_\text{Cs} \over {R^2_\text{s} + X^2_\text{Cs}}}}$$ $$\underline{Y}_\text{ p} = {{1 \over R_\text{p}} + {1 \over {- \text{j} X_\text{Cp}}}} = {{1 \over R_\text{p}} + \text{j} {1 \over X_\text{Cp}}}$$
Iz uvjeta $\underline{Y}_\text{ s} = \underline{Y}_\text{ p}$ dobijemo izraze za ekvivalentnu paralelu $RC$:
$${R_\text{p} = {{R^2_\text{s} + X^2_\text{Cs}} \over R_\text{s}}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, {X_\text{Cp} = {{R^2_\text{s} + X^2_\text{Cs}} \over X_\text{Cs}}}$$

Npr. ako je u paralelnom spoju $R_\text{p}=20 \text{ } \Omega$ i $X_\text{Cp}=20 \text{ } \Omega$, tada će ekvivalentni serijski spoj biti $R_\text{s}=10 \text{ } \Omega$ i $X_\text{Cs}=10 \text{ } \Omega$. Ako je taj spoj još u seriji sa zavojnicom $X_\text{L} = 10 \text{ } \Omega$ lako vidimo da dolazi do rezonancije (struja i priključeni napon su u fazi, a impedancija ima radni karakter, tj. fazni kut $0°$), za $X_\text{L} < 10 \text{ } \Omega$ čitava serija je kapacitivna, te za $X_\text{L} > 10 \text{ } \Omega$ čitava serija je induktivna.