OSNOVE ELEKTROTEHNIKE
INTERAKTIVNI NASTAVNI MATERIJALI
animacije · pokusi · lab. vježbe · simulacije · test pitanja · zadaci

Izmjenični strujni krugovi · Pretvorba zvijezda ↔ trokut

Slika $1$

Prilikom rješavanja zadataka nekada ne možemo pojednostavniti krug bez primjene pretvorbe (transformacije) elemenata spojenih u zvijezdu u ekvivalentni spoj u trokut i obratno (Slika $1$). Time ne mijenjamo uvjete u električnom krugu (ukupna impedancija, struja izvora te potencijali točaka ostaju isti), ali olakšamo rješavanje zadatka jer dalje možemo pojednostavniti krug korištenjem formula za seriju i/ili paralelu elemenata.

Formule za pretvorbu impedancija u izmjeničnim krugovima su analogne onima koje koristimo za pretvorbu otpornika u istosmjernim krugovima (pogledajte ovdje), samo je ovdje račun složeniji zbog kompleksnih brojeva.

Na Slici $1$ je kao primjer izdvojen zvijezda spoj iz neke složenije el. mreže. Povlačenjem preklopke dobijete transformirani ekvivalentni trokut spoj, a da su pritom točke $1$, $2$ i $3$ ostale na istom potencijalu! Obratite pozornost na zajedničku točku $0$ (zvjezdište) po kojoj ćete lako prepoznati da se radi o zvijezda spoju. Vodite računa da su u zadatku koji rješavate moguće i drugačije oznake točaka (npr. $\text{N}$, $\text{R}$, $\text{S}$ i $\text{T}$ kod trofaznih mreža).

Kao pomoć nudimo vam kalkulator za pretvorbu impedancija iz zvijezde u trokut i obratno. Potrebno je upisati impedancije zadanog spoja i kliknuti na IZRAČUNAJ. Ako upišete samo realne dijelove impedancija kalkulator možete koristiti i za rješavanje el. krugova s otpornicima. Za imaginarni dio impedancije stavite minus u slučaju kapacitivnog karaktera.

formule za pretvorbu: ZVIJEZDA $\longrightarrow$ TROKUT

$$\begin{align} \underline{Z}_\text{ 12} &= {{\underline{Z}_\text{ 1} \cdot \underline{Z}_\text{ 2}} \over \underline{Z}_\text{ Y}} \\[10pt] \underline{Z}_\text{ 23} &= {{\underline{Z}_\text{ 2} \cdot \underline{Z}_\text{ 3}} \over \underline{Z}_\text{ Y}} \\[10pt] \underline{Z}_\text{ 31} &= {{\underline{Z}_\text{ 3} \cdot \underline{Z}_\text{ 1}} \over \underline{Z}_\text{ Y}} \end{align}$$

impedanciju zvijezde $\underline{Z}_\text{ Y}$ računamo ovako: $$\underline{Y}_\text{ Y} = {1 \over \underline{Z}_\text{ 1}} + {1 \over \underline{Z}_\text{ 2}} + {1 \over \underline{Z}_\text{ 3}} \,\,\, \longrightarrow \,\,\, \underline{Z}_\text{ Y} = {1 \over \underline{Y}_\text{ Y}}$$

formule za pretvorbu: TROKUT $\longrightarrow$ ZVIJEZDA

$$\begin{align} \underline{Z}_\text{ 1} &= {{\underline{Z}_\text{ 12} \cdot \underline{Z}_\text{ 31}} \over \underline{Z}_{\text{ } \Delta}} \\[10pt] \underline{Z}_\text{ 2} &= {{\underline{Z}_\text{ 12} \cdot \underline{Z}_\text{ 23}} \over \underline{Z}_{\text{ } \Delta}} \\[10pt] \underline{Z}_\text{ 3} &= {{\underline{Z}_\text{ 23} \cdot \underline{Z}_\text{ 31}} \over \underline{Z}_{\text{ } \Delta}} \end{align}$$

impedanciju trokuta $\underline{Z}_{\text{ } \Delta}$ računamo ovako: $$\underline{Z}_{\text{ } \Delta} = \underline{Z}_\text{ 12} + \underline{Z}_\text{ 23} + \underline{Z}_\text{ 31}$$

  • Za savjet kako upamtiti navedene formule kliknite ovdje...
  • Kliknite ovdje za pokretanje simulacije koje pokazuje da je ukupna struja u krugu i prije i nakon transformacije zvijezda $\longleftrightarrow$ trokut ista!
  • Podsjetnik: umjesto pretvorbe zvijezda $\longleftrightarrow$ trokut možete direktno primijeniti Kirchhoffove zakone — pripremiti i riješiti sustav jednadžbi prema KZS i KZN. Na ispitima ipak uvijek pokušajte prvo pojednostavniti zadani el. krug, jer je već i sustav s četiri jednadžbe i četiri nepoznanice zahtjevan za efikasno rješavanje na papiru...

Kalkulator za pretvorbu ZVIJEZDA $\longrightarrow$ TROKUT:
ZVIJEZDA

$\text{Re} \left\{ \underline{Z}_\text{ 1} \right\} = $$\text{ } \Omega$$\text{Im} \left\{ \underline{Z}_\text{ 1} \right\} = $$\text{ } \Omega$

$\text{Re} \left\{ \underline{Z}_\text{ 2} \right\} = $$\text{ } \Omega$$\text{Im} \left\{ \underline{Z}_\text{ 2} \right\} = $$\text{ } \Omega$

$\text{Re} \left\{ \underline{Z}_\text{ 3} \right\} = $$\text{ } \Omega$$\text{Im} \left\{ \underline{Z}_\text{ 3} \right\} = $$\text{ } \Omega$

EKVIVALENTNI TROKUT

$$\begin{align}\underline{Z}_\text{ 12} &= 30 + \text{j} 0 \text{ } \Omega \\[10pt] \underline{Z}_\text{ 23} &= 30 + \text{j} 0 \text{ } \Omega \\[10pt] \underline{Z}_\text{ 31} &= 30 + \text{j} 0 \text{ } \Omega \end{align}$$

Kalkulator za pretvorbu TROKUT $\longrightarrow$ ZVIJEZDA:
TROKUT

$\text{Re} \left\{ \underline{Z}_\text{ 12} \right\} = $$\text{ } \Omega$$\text{Im} \left\{ \underline{Z}_\text{ 12} \right\} = $$\text{ } \Omega$

$\text{Re} \left\{ \underline{Z}_\text{ 23} \right\} = $$\text{ } \Omega$$\text{Im} \left\{ \underline{Z}_\text{ 23} \right\} = $$\text{ } \Omega$

$\text{Re} \left\{ \underline{Z}_\text{ 31} \right\} = $$\text{ } \Omega$$\text{Im} \left\{ \underline{Z}_\text{ 31} \right\} = $$\text{ } \Omega$

EKVIVALENTNA ZVIJEZDA

$$\begin{align}\underline{Z}_\text{ 1} &= 10 + \text{j} 0 \text{ } \Omega \\[10pt] \underline{Z}_\text{ 2} &= 10 + \text{j} 0 \text{ } \Omega \\[10pt] \underline{Z}_\text{ 3} &= 10 + \text{j} 0 \text{ } \Omega \end{align}$$


Napomena: može se dogoditi da realni dio (otpor) u transformiranom spoju bude negativan. U tom slučaju je transformirani spoj samo računska veličina, tj. nije ga moguće realizirati u praksi.