OSNOVE ELEKTROTEHNIKE
INTERAKTIVNI NASTAVNI MATERIJALI
animacije · pokusi · lab. vježbe · simulacije · test pitanja · zadaci

Trofazni sustavi · Trofazni sustav napona
Slika 1

Zadan je simetrični trofazni izvor napona u zvijezda spoju prema Slici 1. Ovakav trofazni izvor se sastoji od tri sinusna naponska izvora čiji je minus pol spojen u zajedničku točku $0$ (zvjezdište izvora). Sva tri vektora/fazora napona su iste duljine (ista amplituda i efektivna vrijednost) te su međusobno razmaknuti za po $120°$ ili ${{2 \pi} \over 3} \text{ rad}$, a nazivaju se fazni naponi $\dot{U}_\text{R}$, $\dot{U}_\text{S}$ i $\dot{U}_\text{T}$. Redoslijed faza izvora je obično $\text{R} \rightarrow \text{S} \rightarrow \text{T}$ (koriste se i oznake $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3$ ili $\text{A} \rightarrow \text{B} \rightarrow \text{C}$). U ovoj simulaciji možete zadati amplitudu faznog napona i početni kut prve faze izvora (za vektor $\vec{U}_\text{R}$, odnosno fazor $\dot{U}_\text{R}$). Pokretanjem animacije možete analizirati međusobne odnose triju faznih napona izvora kroz prikazani sustav rotirajućih vektora i odgovarajućih sinusnih funkcija. Zadana je frekvencija $f=50 \text{ Hz}$, a vektori se okreću u smjeru suprotnom od kazaljke na satu kutnom brzinom $\omega = 2 \pi f$.

Zbog toga što je trofazni izvor simetričan vrijedi: $\dot{U}_\text{R} + \dot{U}_\text{S} + \dot{U}_\text{T} = 0 \text{ V}$, odnosno: $u_\text{R} \left(t \right) + u_\text{S} \left(t \right) + u_\text{T} \left(t \right) = 0 \text{ V}$ za svaki trenutak $t$ (provjerite u animaciji)!

amplituda faznog napona: $\text{ V}$ početni kut napona $\vec{U}_\text{R}$: $°$

Fazni naponi trofaznog izvora su napon $\dot{U}_\text{R}$ između točaka $R$ i $0$, napon $\dot{U}_\text{S}$ između točaka $S$ i $0$ te napon $\dot{U}_\text{T}$ između točaka $T$ i $0$. U animaciji su fazori faznih napona prikazani crtkano i duljina im odgovara efektivnoj vrijednosti faznog napona (kraći su za $\sqrt{2}$ puta od amplitude faznog napona). U simetričnom trofaznom izvoru modul svih faznih napona je $U_\text{f}$ (kod nas je uobičajena vrijednost $220 \text{ V}$ ili $230 \text{ V}$). Za općeniti slučaj (početni kut prvog faznog napona $0°$) su fazori faznih napona trofaznog izvora sljedeći:

$$\begin{align}\dot{U}_\text{R} &= U_\text{f} \angle 0° = U_\text{f}\\\dot{U}_\text{S} &= U_\text{f} \angle -120° = U_\text{f} \left( -{1 \over 2} - \text{j}{\sqrt{3} \over 2} \right)\\\dot{U}_\text{T} &= U_\text{f} \angle -240° = U_\text{f} \left( -{1 \over 2} + \text{j}{\sqrt{3} \over 2} \right)\end{align}$$

Važni su i naponi koje možemo dobiti između linija — linijski naponi. Za simetričan trofazni izvor u spoju zvijezde (Slika 1) iznos linijskog napona je za $\sqrt{3}$ puta veći od iznosa faznog napona izvora (kod nas je uobičajena vrijednost linijskog napona $380 \text{ V}$ ili $400 \text{ V}$):

$$U_\text{L} = \sqrt{3} U_\text{f}$$

Uz poznate fazne napone izvora možemo analitički izračunati sve linijske napone na uobičajeni način:

$$\begin{align}\dot{U}_\text{RS} &= \dot{U}_\text{R} - \dot{U}_\text{S} = U_\text{f} - U_\text{f} \left( -{1 \over 2} - \text{j}{\sqrt{3} \over 2} \right) = U_\text{f} \left( {3 \over 2} + \text{j}{\sqrt{3} \over 2} \right) = \sqrt{3}U_\text{f} \angle 30°\\\dot{U}_\text{ST} &= \dot{U}_\text{S} - \dot{U}_\text{T} = U_\text{f} \left( -{1 \over 2} - \text{j}{\sqrt{3} \over 2} \right) - U_\text{f} \left( -{1 \over 2} + \text{j}{\sqrt{3} \over 2} \right) = - \text{j} \sqrt{3} U_\text{f} = \sqrt{3}U_\text{f} \angle -90°\\\dot{U}_\text{TR} &= \dot{U}_\text{T} - \dot{U}_\text{R} = U_\text{f} \left( -{1 \over 2} + \text{j}{\sqrt{3} \over 2} \right) - U_\text{f} = U_\text{f} \left( -{3 \over 2} + \text{j}{\sqrt{3} \over 2} \right) = \sqrt{3}U_\text{f} \angle 150°\end{align}$$

Linijske napone možemo odrediti i grafički iz slike fazorskog (vektorskog) ili topografskog dijagrama. U fazorskom/vektorskom dijagramu oduzimamo fazore/vektore (zbrajanje sa suprotnim fazorom/vektorom), npr. $\dot{U}_\text{ST} = \dot{U}_\text{S} - \dot{U}_\text{T} = \dot{U}_\text{S} + \left( -\dot{U}_\text{T} \right) $. A u topografskom dijagramu ucrtavamo fazore između točaka $R$, $S$ i $T$ (npr. $\dot{U}_\text{ST}$ je usmjeren $\text{T} \rightarrow \text{S}$, od drugog indeksa prema prvom). Za primjer su skicirani fazorski i topografski dijagrami za simetrični trofazni izvor sa Slike 1 uz $U_\text{f} = 220 \text{ V}$ i početni kut napona $\dot{U}_\text{R}$ od $0°$.

Fazorski dijagram
Topografski dijagram

Iz vektorskog dijagrama može se vidjeti da linijski napon $\dot{U}_\text{RS}$ prethodi za $30°$ ispred faznog napona $\dot{U}_\text{R}$, a isto vrijedi i za par napona $\dot{U}_\text{ST}$ i $\dot{U}_\text{S}$, odnosno $\dot{U}_\text{TR}$ i $\dot{U}_\text{T}$. A iz topografskog dijagrama možemo korištenjem trigonometrije (npr. kosinusov poučak) lako doći do relacije $U_\text{L} = \sqrt{3} U_\text{f}$ (provjerite!).

Na kraju primijetite da su i fazori linijskih napona čine simetričan sustav — razmaknuti za po $120°$ i jednaki su po iznosu — zato je i njihov fazorski/vektorski zbroj jednak nuli: $$\dot{U}_\text{RS} + \dot{U}_\text{ST} + \dot{U}_\text{TR} = 0 \text{ V}$$

ZADATAK ZA VJEŽBU:

Za trofazni simetrični izvor u zvijezda spoju prikazan na Slici 1 poznat je fazor $\dot{U}_\text{RS} = 380 \angle 0° \text{ V}$. Odredite sve preostale fazore faznih i linijskih napona i nacrtajte odgovarajući fazorski dijagram!