OSNOVE ELEKTROTEHNIKE  Mjesni (locus) dijagrami    

Uputa:

Zadan je serijski spoj promjenjivog radnog otpora i induktivnog otpora (XL=2 oma).

 kliknite  na tipku :

 

i sliderom mijenjajte radni otpor od 0-10 oma

 

©  I. Felja 2015

Kompleksnu impedanciju i admitanciju možemo prikazati u odgovarajućoj kompleksnoj ravnini. Ovdje razmatramo  induktivnu impedanciju (serijski spoj radnog i induktivnog otpora). Kompleksna impedancija je Z=R+jXL.. Uz poznati R i XLtaj kompleksni broj možemo prikazati kao točku u kompleksnoj ravnini. No što ćemo dobiti ako se  radni otpor mijenja od nule do nekog iznosa (taj iznos može biti ∞)? Dobivamo skup točaka u prvom kvadrantu kompleksne Z-ravnine (na osima su omi)  koje čine polupravac usporedan sa +realnom osi (ako se otpor mijenja od 0-∞).   Dakle Z mijenja svoju poziciju u kompleksnoj ravnini. Općenito se skup točaka koje dobivamo kod promjene neke (samo jedne) veličine spoja (u ovom slučaju : otpora,  induktiviteta ili frekvencije) naziva   lokus dijagram (mjesni dijagram).

 Poznato je da admitanciju  možemo prikazati kao recipročnu vrijednost impedancije Y=1/Z.  Može se pokazati (matematički) da  admitancija  u kompleksnoj Y-ravnini (na osima su vodljivosti) čini  skup točaka na polukružnici* odnosno (matematički) kažemo da se polupravac iz  Z-ravnine kroz funkciju 1/Z preslika u polukružnicu u Y-ravnini. napomena pravac od -∞ do+∞ preslikao bi se u kružnicu, ali budući da ne postoje negativni otpori preostaje polukružnica!

U tablici su prikazani (izračunati su) iznosi impedancije i admitancije za nekoliko vrijednosti otpora R.

R W

Z W

Y S

0

0+2j

0-0.5j

0.5

0.5+2j

0.118-0.471j

1

1+2j

0.2-0.4j

1.5

1.5+2j

0.24-0.32j

2

2+2j

0.25-025j

5

5+2j

0.172-0.069j

10

10+2j

0.096-0.019j

Ovdje imate program koji preslikava serijski spoj promjenjivog otpora i induktiviteta u paralelni i pri tom crta lokus dijagrame. Potrebno je mijenjati otpor pomicanjem "slidera". Uz Z i Y napisana je aktualna vrijednost otpora. Zapazite:Pri porastu otpora susceptancija (B) se smanjuje, a radna vodlljivost (G) naprije (do iznosa R=2 oma) raste, a zatim pada. Budući da se otpor mijenja od 0-10 oma Z -lokus je dužina, a  u vezi s tim Y- lokus nije kompletna polukružnica. Mali dio koji nedostaje dobio bi se kada bi se otpor povećavao od 10 oma prema beskonačno. Očito se radi o "zgusnutim" funkcijskim vrijednostima u Y-ravnini.

Za admitanciju (paralelni spoj G i BL) dobivamo  Y=R/(R2+XL2)-j XL/(R2+XL2)=G-jBL (pazite: pri promjeni otpora mijenja se realni (G)i imaginarni dio (BL) admitancije,  a kod impedancije samo realni dio). 

To ujedno znači da serijski spoj elemenata možemo "zamijeniti" sa ekvivalentnim paralelnim.spojem što može biti korisno pri analizi strujnih krugova (rješavanju zadataka). Moguć je i obrat  tj. paralelu zamijeniti serijom. Relacije su : Rs=G/(G2+B2 )      XLs=B/(G2+B2).  Detalje možete pogledati ovdje.

Pretpostavimo da opisani spoj priključimo na naponski sinusni izvor. Fazor tog napona neka je  U=10/0 tj. početni fazni kut napona je nula, a efektivna vrijednost je 10 V. Struju  (fazor) možemo izračunavati kao U/Z ili UY. Ako se mijenja R , mijenjaju se Z i Y kako je već objašnjeno. Sukladno tome mijenja se i fazor struje pa će u kompleksnoj I-ravnini (na osima su amperi) mijenjati svoj položaj i opisivati I-lokus  dijagram. Vodimo računa da XL nije element kruga nego induktivan otpor koji je wL dakle ovisi o iznosu induktiviteta i frekvenciji. Npr u opisanom slučaju XL=2 oma,  ako je L=0,01 H tada prikazani lokus dijagrami  vrijedi za kružnu frekvenciju  w=XL/L=200 rad/s. Nije teško izračunati f. Za veću ili manju frekvenciju promijenili bi se naravno lokus dijagrami. (kako?-skicirajte ih)

Nije teško zaključiti da se lokus  dijagram fazora struje jednostavno dobije iz Y- lokusa samo treba promijeniti oznake na osima (pomnožiti ih sa 10). Na takvom dijagramu  može se  očitavati kut i iznos fazora struje uz neki otpor R (postave se zrakaste linije iz ishodišta sa oznakom otpora). Naravno da postoje i lokus dijagrami fazora napona (pogledati  ovdje).Treba spomenuti da Y-lokus ukazuje na pojavu rezonancije (tada je B jednako nuli). U prikazanom primjeru rezonancija nije moguća jer u krugu nema kapacitivne vodljivosti.

U elektrotehnici često razmatramo utjecaj frekvencije na zbivanja u strujnim krugovima. Pod "frekvencijom" zbog jednostavnosti podrazumijevamo kružnu frekvenciju w.  U tom smislu korisno je  najprije pogledati impedanciju i admitanciju serijskog RL i RC spoja. Na slici su skicirani  mjesni dijagrami impedancije i admitancije za ta dva spoja. Radni otpor je konstantan dok se induktivni   i kapacitivni otpori mijenjaju sa frekvencijom.

"Matematičke"  detalje (jednadžbe) o lokus dijagramima možete saznati  iz odgovarajućeg udžbenika. I.Felja 2015 

*Često lokus dijagrame nazivamo kružni dijagrami iako ima slučajeva da je lokus dijagram neka drugačija krivulja. Zaintresirani čitatelj neka ovdje pogleda takav lokus dijagram.

.PITANJA ZA PROVJERU